Номер 361, страница 171 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Решим неравенство $ \log_x (x^2 - \frac{3}{16}) > 4 $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице, а аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.

$\begin{cases}x > 0 \\x \neq 1 \\x^2 - \frac{3}{16} > 0\end{cases}$

Решим третье неравенство системы:

$ x^2 > \frac{3}{16} \Rightarrow |x| > \frac{\sqrt{3}}{4} \Rightarrow x > \frac{\sqrt{3}}{4} $ или $ x < -\frac{\sqrt{3}}{4} $.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $ x \in (\frac{\sqrt{3}}{4}, 1) \cup (1, +\infty) $.

Теперь решим само неравенство. Рассмотрим два случая в зависимости от значения основания $x$.

Случай 1: $x > 1$ (основание больше 1).

В этом случае логарифмическая функция возрастает, и знак неравенства сохраняется:

$ x^2 - \frac{3}{16} > x^4 $

$ x^4 - x^2 + \frac{3}{16} < 0 $

Сделаем замену $ t = x^2 $ (при $x > 1$, $t > 1$).

$ t^2 - t + \frac{3}{16} < 0 $

Найдем корни квадратного уравнения $ t^2 - t + \frac{3}{16} = 0 $.

$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{3}{16} = 1 - \frac{12}{16} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} $.

$ t_1 = \frac{1 - \sqrt{1/4}}{2} = \frac{1 - 1/2}{2} = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4} $.

$ t_2 = \frac{1 + \sqrt{1/4}}{2} = \frac{1 + 1/2}{2} = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4} $.

Неравенство $ t^2 - t + \frac{3}{16} < 0 $ выполняется при $ \frac{1}{4} < t < \frac{3}{4} $. Возвращаясь к замене: $ \frac{1}{4} < x^2 < \frac{3}{4} $, что означает $ \frac{1}{2} < |x| < \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Так как мы рассматриваем случай $x > 1$, то $ \frac{1}{2} < x < \frac{\sqrt{3}}{2} $. Но $ \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1.732}{2} = 0.866 < 1 $. Следовательно, интервал $ (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) $ не имеет пересечения с $ (1, +\infty) $. В этом случае решений нет.

Случай 2: $0 < x < 1$ (основание меньше 1).

В этом случае логарифмическая функция убывает, и знак неравенства меняется на противоположный:

$ x^2 - \frac{3}{16} < x^4 $

$ x^4 - x^2 + \frac{3}{16} > 0 $

Используя найденные ранее корни, получаем, что это неравенство выполняется при $ t < \frac{1}{4} $ или $ t > \frac{3}{4} $. Возвращаясь к замене $ t = x^2 $:

$ x^2 < \frac{1}{4} $ или $ x^2 > \frac{3}{4} $

$ |x| < \frac{1}{2} $ или $ |x| > \frac{\sqrt{3}}{2} $

Так как по условию случая $0 < x < 1$, получаем: $ 0 < x < \frac{1}{2} $ или $ \frac{\sqrt{3}}{2} < x < 1 $.

Теперь нужно пересечь полученное решение с ОДЗ для этого случая, то есть с интервалом $ (\frac{\sqrt{3}}{4}, 1) $.

Так как $ \frac{\sqrt{3}}{4} \approx \frac{1.732}{4} = 0.433 $, то $ \frac{\sqrt{3}}{4} < \frac{1}{2} $.

Пересечение $ (0, \frac{1}{2}) $ и $ (\frac{\sqrt{3}}{4}, 1) $ дает интервал $ (\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{2}) $.

Пересечение $ (\frac{\sqrt{3}}{2}, 1) $ и $ (\frac{\sqrt{3}}{4}, 1) $ дает интервал $ (\frac{\sqrt{3}}{2}, 1) $.

Объединяя результаты для второго случая, получаем: $ x \in (\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{2}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{2}, 1) $.

Это и есть окончательное решение, так как в первом случае решений не было.

Ответ: $ x \in (\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{2}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{2}, 1) $.

2) Решим неравенство $ \log_{\frac{1}{x}} \frac{2x-4}{x^2-4x-5} > 1 $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

$\begin{cases}\frac{1}{x} > 0 \\\frac{1}{x} \neq 1 \\\frac{2x-4}{x^2-4x-5} > 0\end{cases}$

Из первого и второго неравенств следует, что $ x > 0 $ и $ x \neq 1 $.

Решим третье неравенство методом интервалов:

$ \frac{2(x-2)}{(x-5)(x+1)} > 0 $

Нули числителя и знаменателя: $x = -1, x = 2, x = 5$. Расставив их на числовой оси, получаем, что неравенство выполняется при $ x \in (-1, 2) \cup (5, +\infty) $.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $ x \in (0, 1) \cup (1, 2) \cup (5, +\infty) $.

Теперь решим само неравенство. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $0 < \frac{1}{x} < 1$ (основание меньше 1).

Это условие равносильно $ x > 1 $. В этом случае знак неравенства меняется на противоположный:

$ \frac{2x-4}{x^2-4x-5} < (\frac{1}{x})^1 $

$ \frac{2x-4}{x^2-4x-5} - \frac{1}{x} < 0 $

$ \frac{x(2x-4) - (x^2-4x-5)}{x(x^2-4x-5)} < 0 $

$ \frac{2x^2-4x-x^2+4x+5}{x(x-5)(x+1)} < 0 $

$ \frac{x^2+5}{x(x-5)(x+1)} < 0 $

Так как числитель $ x^2+5 $ всегда положителен, то знак дроби зависит от знаменателя:

$ x(x-5)(x+1) < 0 $

Методом интервалов находим, что это неравенство верно для $ x \in (-\infty, -1) \cup (0, 5) $.

Пересекаем полученное решение с условием данного случая ($x>1$) и ОДЗ ($ x \in (1, 2) \cup (5, +\infty) $).

Пересечение $ ((-\infty, -1) \cup (0, 5)) \cap (1, +\infty) $ дает интервал $ (1, 5) $.

Теперь пересекаем $ (1, 5) $ с ОДЗ: $ (1, 5) \cap ((1, 2) \cup (5, +\infty)) $ дает $ (1, 2) $.

Случай 2: $\frac{1}{x} > 1$ (основание больше 1).

Это условие равносильно $ 0 < x < 1 $. В этом случае знак неравенства сохраняется:

$ \frac{2x-4}{x^2-4x-5} > \frac{1}{x} $

$ \frac{x^2+5}{x(x-5)(x+1)} > 0 $

Так как числитель всегда положителен, то $ x(x-5)(x+1) > 0 $.

Методом интервалов находим, что это неравенство верно для $ x \in (-1, 0) \cup (5, +\infty) $.

Пересекаем полученное решение с условием данного случая ($0 < x < 1$). Пересечение $ ((-1, 0) \cup (5, +\infty)) \cap (0, 1) $ является пустым множеством. В этом случае решений нет.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $ x \in (1, 2) $.