Номер 358, страница 170 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Исходное неравенство: $ \frac{2x^2 - 9x + 4}{3x^2} \ge -1 $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:$ 3x^2 \ne 0 $, что означает $ x \ne 0 $.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:$ \frac{2x^2 - 9x + 4}{3x^2} + 1 \ge 0 $

Приведем к общему знаменателю:$ \frac{2x^2 - 9x + 4 + 3x^2}{3x^2} \ge 0 $

Упростим числитель:$ \frac{5x^2 - 9x + 4}{3x^2} \ge 0 $

Знаменатель $ 3x^2 $ всегда положителен при любом $ x $ из ОДЗ ($ x \ne 0 $). Следовательно, знак дроби зависит только от знака числителя. Неравенство равносильно системе:$ \begin{cases} 5x^2 - 9x + 4 \ge 0 \\ x \ne 0 \end{cases} $

Решим квадратное неравенство $ 5x^2 - 9x + 4 \ge 0 $. Для этого найдем корни уравнения $ 5x^2 - 9x + 4 = 0 $.Вычислим дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 81 - 80 = 1 $.Найдем корни:$ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 1}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} = 0,8 $$ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 1}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1 $

Так как коэффициент при $ x^2 $ положителен ($ a=5>0 $), ветви параболы $ y = 5x^2 - 9x + 4 $ направлены вверх. Значит, неравенство $ 5x^2 - 9x + 4 \ge 0 $ выполняется при $ x \in (-\infty; 0,8] \cup [1; +\infty) $.

Теперь учтем ОДЗ ($ x \ne 0 $). Точка $ x=0 $ входит в промежуток $ (-\infty; 0,8] $. Исключив ее, получим решение:$ x \in (-\infty; 0) \cup (0; 0,8] \cup [1; +\infty) $.

Ответ: $ (-\infty; 0) \cup (0; 0,8] \cup [1; +\infty) $.

2)

Исходное неравенство: $ \frac{\sqrt{4 - x^2} \cdot (3 - 5x)^2}{(x + 3)(x - 0,5)(2x + 3)} > 0 $.

Решим неравенство методом интервалов. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ).

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:$ 4 - x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 \le 4 \Rightarrow -2 \le x \le 2 $.

2. Знаменатель не должен быть равен нулю:$ (x + 3)(x - 0,5)(2x + 3) \ne 0 $.Отсюда $ x \ne -3 $, $ x \ne 0,5 $, $ x \ne -1,5 $.

Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $ x \in [-2; -1,5) \cup (-1,5; 0,5) \cup (0,5; 2] $.

Так как неравенство строгое ($ > 0 $), то числитель не может быть равен нулю.$ \sqrt{4 - x^2} \cdot (3 - 5x)^2 \ne 0 $.Это означает, что $ \sqrt{4 - x^2} \ne 0 $ и $ (3 - 5x)^2 \ne 0 $.$ 4 - x^2 \ne 0 \Rightarrow x \ne \pm 2 $.$ 3 - 5x \ne 0 \Rightarrow x \ne \frac{3}{5} \Rightarrow x \ne 0,6 $.

С учетом этих ограничений, область, на которой мы ищем решение, сужается до:$ x \in (-2; -1,5) \cup (-1,5; 0,5) \cup (0,5; 0,6) \cup (0,6; 2) $.

На этой области множители в числителе $ \sqrt{4 - x^2} $ и $ (3 - 5x)^2 $ всегда строго положительны. Поэтому знак всей дроби определяется знаком знаменателя:$ (x + 3)(x - 0,5)(2x + 3) > 0 $.

Найдем корни выражения в знаменателе: $ x = -3 $, $ x = 0,5 $, $ x = -1,5 $.Нанесем эти точки на числовую ось и определим знаки на интервалах.

Решением неравенства $ (x + 3)(x - 0,5)(2x + 3) > 0 $ является объединение интервалов: $ x \in (-3; -1,5) \cup (0,5; +\infty) $.

Теперь найдем пересечение этого решения с найденной ранее областью $ x \in (-2; -1,5) \cup (-1,5; 0,5) \cup (0,5; 0,6) \cup (0,6; 2) $.

1. Пересечение $ (-3; -1,5) $ с нашей областью дает $ (-2; -1,5) $.

2. Пересечение $ (0,5; +\infty) $ с нашей областью дает $ (0,5; 0,6) \cup (0,6; 2) $.

Объединив полученные интервалы, получаем окончательное решение.

Ответ: $ (-2; -1,5) \cup (0,5; 0,6) \cup (0,6; 2) $.