Номер 351, страница 170 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $4^{x+1} - 3 \cdot 2^x - 1 > 0$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней: $4^{x+1} = 4 \cdot 4^x = 4 \cdot (2^2)^x = 4 \cdot (2^x)^2$.

Неравенство принимает вид: $4 \cdot (2^x)^2 - 3 \cdot 2^x - 1 > 0$.

Это квадратное неравенство относительно $2^x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем неравенство для $t$: $4t^2 - 3t - 1 > 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4t^2 - 3t - 1 = 0$ с помощью дискриминанта. $D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{3 - 5}{8} = -\frac{1}{4}$ и $t_2 = \frac{3 + 5}{8} = 1$.

Поскольку старший коэффициент $4 > 0$, ветви параболы $y=4t^2-3t-1$ направлены вверх. Решением неравенства $4t^2 - 3t - 1 > 0$ является объединение промежутков $t < -1/4$ и $t > 1$.

Учитывая условие замены $t > 0$, решением для $t$ является $t > 1$.

Выполним обратную замену: $2^x > 1$.

Так как $1 = 2^0$, имеем $2^x > 2^0$.

Основание степени $2 > 1$, поэтому показательная функция является возрастающей. Следовательно, при переходе к показателям знак неравенства сохраняется: $x > 0$.

Ответ: $(0; +\infty)$.

2) $\log_{\sqrt{2}}(x^2 - 3x) \le 4$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным. $x^2 - 3x > 0$, что равносильно $x(x-3) > 0$.

Решением этого неравенства методом интервалов является объединение $x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)$.

Теперь решим основное неравенство. Основание логарифма $\sqrt{2} > 1$, поэтому логарифмическая функция является возрастающей. При потенцировании (избавлении от логарифма) знак неравенства сохраняется.

$x^2 - 3x \le (\sqrt{2})^4$.

Упростим правую часть: $(\sqrt{2})^4 = ((\sqrt{2})^2)^2 = 2^2 = 4$.

Получаем квадратное неравенство: $x^2 - 3x \le 4$, или $x^2 - 3x - 4 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант), корни равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.

Ветви параболы $y=x^2-3x-4$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 3x - 4 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $-1 \le x \le 4$, то есть $x \in [-1; 4]$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $x \in [-1; 4] \cap ((-\infty; 0) \cup (3; +\infty))$.

Это соответствует объединению промежутков $x \in [-1; 0)$ и $x \in (3; 4]$.

Ответ: $[-1; 0) \cup (3; 4]$.