Номер 349, страница 169 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Решим неравенство $47 - x(3x + 4) < 2(17 - 2x) - 62$.
Сначала раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$47 - 3x^2 - 4x < 34 - 4x - 62$
Упростим правую часть и приведем подобные слагаемые. Член $-4x$ есть в обеих частях, поэтому он сокращается:
$47 - 3x^2 < -28$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратичное неравенство:
$47 + 28 - 3x^2 < 0$
$75 - 3x^2 < 0$
Разделим обе части на $-3$, не забывая изменить знак неравенства на противоположный:
$x^2 - 25 > 0$
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x-5)(x+5) > 0$.
Это неравенство выполняется, когда $x$ находится за пределами корней $-5$ и $5$.
Таким образом, решение: $x < -5$ или $x > 5$.
Ответ: $(-\infty; -5) \cup (5; +\infty)$.

2) Решим неравенство $\frac{3x^2 - 11}{8} + \frac{74 - 2x^2}{12} \le 10$.
Найдем общий знаменатель для 8 и 12. Наименьшее общее кратное (НОК) равно 24. Умножим обе части неравенства на 24, чтобы избавиться от дробей:
$24 \cdot \frac{3x^2 - 11}{8} + 24 \cdot \frac{74 - 2x^2}{12} \le 10 \cdot 24$
$3(3x^2 - 11) + 2(74 - 2x^2) \le 240$
Раскроем скобки:
$9x^2 - 33 + 148 - 4x^2 \le 240$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$5x^2 + 115 \le 240$
Перенесем 115 в правую часть:
$5x^2 \le 240 - 115$
$5x^2 \le 125$
Разделим обе части на 5:
$x^2 \le 25$
Это неравенство выполняется, когда $x$ находится между корнями $-5$ и $5$, включая сами корни.
Таким образом, решение: $-5 \le x \le 5$.
Ответ: $[-5; 5]$.

3) Решим неравенство $\frac{x - 1}{x + 3} \ge 2$.
Перенесем 2 в левую часть, чтобы сравнить выражение с нулем:
$\frac{x - 1}{x + 3} - 2 \ge 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{x - 1 - 2(x + 3)}{x + 3} \ge 0$
Упростим числитель:
$\frac{x - 1 - 2x - 6}{x + 3} \ge 0$
$\frac{-x - 7}{x + 3} \ge 0$
Умножим неравенство на $-1$, чтобы коэффициент при $x$ в числителе стал положительным, и изменим знак неравенства на противоположный:
$\frac{x + 7}{x + 3} \le 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
Нуль числителя: $x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7$. Точка будет закрашенной, так как неравенство нестрогое ($\le$).
Нуль знаменателя: $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$. Точка будет выколотой, так как знаменатель не может быть равен нулю (область допустимых значений $x \ne -3$).
Нанесем точки на числовую прямую и определим знаки выражения $\frac{x + 7}{x + 3}$ в получившихся интервалах.

Нам нужен интервал, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это интервал между $-7$ и $-3$.
Ответ: $[-7; -3)$.

4) Решим неравенство $\frac{x^2 + 5x + 4}{x^2 - 5x + 6} > 0$.
Разложим числитель и знаменатель на множители. Для этого найдем их корни.
Числитель: $x^2 + 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = -1$. Тогда $x^2 + 5x + 4 = (x+4)(x+1)$.
Знаменатель: $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Тогда $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{(x+4)(x+1)}{(x-2)(x-3)} > 0$
Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $-4, -1, 2, 3$.
Так как неравенство строгое ($>$), все точки будут выколотыми.
Нанесем точки на числовую прямую и определим знаки выражения в интервалах.

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля ($>0$). Это $(-\infty; -4)$, $(-1; 2)$ и $(3; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -4) \cup (-1; 2) \cup (3; +\infty)$.