Страница 169 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Нет, не любое преобразование переводит данное неравенство в равносильное (мэндес) ему неравенство. Преобразование называется равносильным, если оно не изменяет множество решений неравенства. Существуют преобразования, которые могут привести к потере решений или появлению посторонних решений.

Приведем примеры неравносильных преобразований:

а) Умножение или деление обеих частей неравенства на выражение, содержащее переменную. Знак этого выражения может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от значения переменной. Если не учесть смену знака выражения, можно получить неверное решение. Например, если неравенство $x+1 > 0$ умножить на $x$, то для $x > 0$ получится $x(x+1) > 0$, а для $x < 0$ должно быть $x(x+1) < 0$. Без анализа знака множителя преобразование будет некорректным.

б) Возведение обеих частей неравенства в четную степень (например, в квадрат). Это преобразование не является равносильным, если части неравенства могут иметь разные знаки или быть отрицательными. Например, неравенство $-5 < 2$ является верным. Однако, если возвести обе части в квадрат, мы получим $(-5)^2 < 2^2$, что равносильно $25 < 4$ — это неверно. Другой пример: неравенство $x > -3$. Его решением является интервал $(-3, +\infty)$. Если возвести обе части в квадрат, получим $x^2 > 9$, решениями которого являются $x < -3$ или $x > 3$. Множество решений изменилось: мы потеряли решения из интервала $(-3, 3]$ и приобрели посторонние решения $x \in (-\infty, -3)$.

Поэтому при решении неравенств можно использовать только равносильные преобразования или применять специальные методы (например, метод интервалов), которые учитывают возможные изменения при неравносильных переходах.

Ответ: Нет, не любое преобразование является равносильным. Некоторые преобразования, такие как умножение на выражение с переменной или возведение в четную степень, могут изменить множество решений неравенства.

2. В школьном курсе математики для решения неравенств используются следующие равносильные (или приводящие к равносильной системе/совокупности) преобразования:

1.Перенос любого члена неравенства из одной части в другую с противоположным знаком. Это преобразование равносильно прибавлению к обеим частям неравенства одного и того же выражения. Например, неравенство $f(x) > g(x) + c$ равносильно неравенству $f(x) - g(x) > c$.

2.Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же положительное число или на выражение, принимающее только положительные значения. Знак неравенства при этом не меняется. Если $c > 0$, то $f(x) > g(x) \iff c \cdot f(x) > c \cdot g(x)$.

3.Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число или на выражение, принимающее только отрицательные значения. Знак неравенства при этом меняется на противоположный. Если $c < 0$, то $f(x) > g(x) \iff c \cdot f(x) < c \cdot g(x)$.

4.Возведение обеих частей неравенства в нечетную степень. Это преобразование сохраняет знак неравенства. Например, $f(x) > g(x) \iff (f(x))^3 > (g(x))^3$.

5.Возведение обеих частей неравенства в четную степень. Это преобразование является равносильным только при условии, что обе части неравенства неотрицательны. Если $f(x) \ge 0$ и $g(x) \ge 0$, то $f(x) > g(x) \iff (f(x))^2 > (g(x))^2$.

6.Логарифмирование обеих частей неравенства. Если обе части неравенства строго положительны, их можно логарифмировать.
- Если основание логарифма $a > 1$, знак неравенства сохраняется: при $f(x) > g(x) > 0$ имеем $\log_a(f(x)) > \log_a(g(x))$.
- Если основание логарифма $0 < a < 1$, знак неравенства меняется на противоположный: при $f(x) > g(x) > 0$ имеем $\log_a(f(x)) < \log_a(g(x))$.

7.Потенцирование. Преобразование, обратное логарифмированию, с теми же правилами для знака неравенства в зависимости от основания степени.
- Если $a > 1$, то $\log_a(f(x)) > \log_a(g(x)) \iff f(x) > g(x)$.
- Если $0 < a < 1$, то $\log_a(f(x)) > \log_a(g(x)) \iff f(x) < g(x)$.

Эти преобразования являются основой для решения линейных, квадратных, дробно-рациональных, иррациональных, показательных и логарифмических неравенств, изучаемых в школе.

Ответ: Для решения неравенств в школьном курсе используются: перенос слагаемых; умножение/деление на положительное или отрицательное число (с сохранением или изменением знака неравенства соответственно); возведение в нечетную степень; возведение в четную степень (при неотрицательности обеих частей); логарифмирование и потенцирование (при положительности обеих частей и с учетом основания).

1) Решим неравенство $47 - x(3x + 4) < 2(17 - 2x) - 62$.
Сначала раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$47 - 3x^2 - 4x < 34 - 4x - 62$
Упростим правую часть и приведем подобные слагаемые. Член $-4x$ есть в обеих частях, поэтому он сокращается:
$47 - 3x^2 < -28$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратичное неравенство:
$47 + 28 - 3x^2 < 0$
$75 - 3x^2 < 0$
Разделим обе части на $-3$, не забывая изменить знак неравенства на противоположный:
$x^2 - 25 > 0$
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x-5)(x+5) > 0$.
Это неравенство выполняется, когда $x$ находится за пределами корней $-5$ и $5$.
Таким образом, решение: $x < -5$ или $x > 5$.
Ответ: $(-\infty; -5) \cup (5; +\infty)$.

2) Решим неравенство $\frac{3x^2 - 11}{8} + \frac{74 - 2x^2}{12} \le 10$.
Найдем общий знаменатель для 8 и 12. Наименьшее общее кратное (НОК) равно 24. Умножим обе части неравенства на 24, чтобы избавиться от дробей:
$24 \cdot \frac{3x^2 - 11}{8} + 24 \cdot \frac{74 - 2x^2}{12} \le 10 \cdot 24$
$3(3x^2 - 11) + 2(74 - 2x^2) \le 240$
Раскроем скобки:
$9x^2 - 33 + 148 - 4x^2 \le 240$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$5x^2 + 115 \le 240$
Перенесем 115 в правую часть:
$5x^2 \le 240 - 115$
$5x^2 \le 125$
Разделим обе части на 5:
$x^2 \le 25$
Это неравенство выполняется, когда $x$ находится между корнями $-5$ и $5$, включая сами корни.
Таким образом, решение: $-5 \le x \le 5$.
Ответ: $[-5; 5]$.

3) Решим неравенство $\frac{x - 1}{x + 3} \ge 2$.
Перенесем 2 в левую часть, чтобы сравнить выражение с нулем:
$\frac{x - 1}{x + 3} - 2 \ge 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{x - 1 - 2(x + 3)}{x + 3} \ge 0$
Упростим числитель:
$\frac{x - 1 - 2x - 6}{x + 3} \ge 0$
$\frac{-x - 7}{x + 3} \ge 0$
Умножим неравенство на $-1$, чтобы коэффициент при $x$ в числителе стал положительным, и изменим знак неравенства на противоположный:
$\frac{x + 7}{x + 3} \le 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
Нуль числителя: $x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7$. Точка будет закрашенной, так как неравенство нестрогое ($\le$).
Нуль знаменателя: $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$. Точка будет выколотой, так как знаменатель не может быть равен нулю (область допустимых значений $x \ne -3$).
Нанесем точки на числовую прямую и определим знаки выражения $\frac{x + 7}{x + 3}$ в получившихся интервалах.

Нам нужен интервал, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это интервал между $-7$ и $-3$.
Ответ: $[-7; -3)$.

4) Решим неравенство $\frac{x^2 + 5x + 4}{x^2 - 5x + 6} > 0$.
Разложим числитель и знаменатель на множители. Для этого найдем их корни.
Числитель: $x^2 + 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = -1$. Тогда $x^2 + 5x + 4 = (x+4)(x+1)$.
Знаменатель: $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Тогда $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{(x+4)(x+1)}{(x-2)(x-3)} > 0$
Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $-4, -1, 2, 3$.
Так как неравенство строгое ($>$), все точки будут выколотыми.
Нанесем точки на числовую прямую и определим знаки выражения в интервалах.

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля ($>0$). Это $(-\infty; -4)$, $(-1; 2)$ и $(3; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -4) \cup (-1; 2) \cup (3; +\infty)$.