Страница 164 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $x^2 = 1$ және $(x + 2)x^2 = x + 2$

Бір теңдеудің екінші теңдеудің салдары болуы үшін, бірінші теңдеудің әрбір түбірі екінші теңдеудің де түбірі болуы керек. Екі теңдеудің де түбірлерін табайық.

Бірінші теңдеу: $x^2 = 1$.

Бұл теңдеудің түбірлері: $x_1 = 1$ және $x_2 = -1$.

Бірінші теңдеудің түбірлер жиыны: $M_1 = \{ -1, 1 \}$.

Екінші теңдеу: $(x + 2)x^2 = x + 2$.

Теңдеуді түрлендірейік:

$(x + 2)x^2 - (x + 2) = 0$

Ортақ көбейткішті жақша сыртына шығарамыз:

$(x + 2)(x^2 - 1) = 0$

Бұл теңдеудің шешімдері екі жағдайда орындалады:

$x + 2 = 0$ немесе $x^2 - 1 = 0$.

$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$.

$x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1$ немесе $x = -1$.

Екінші теңдеудің түбірлер жиыны: $M_2 = \{ -2, -1, 1 \}$.

Енді түбірлер жиынын салыстырайық: $M_1 = \{ -1, 1 \}$ және $M_2 = \{ -2, -1, 1 \}$.

$M_1 \subset M_2$ екенін көреміз, яғни бірінші теңдеудің ($x^2=1$) барлық түбірлері екінші теңдеудің ($(x + 2)x^2 = x + 2$) түбірлері болып табылады.

Демек, $(x + 2)x^2 = x + 2$ теңдеуі $x^2 = 1$ теңдеуінің салдары болады. Бұл $x^2 = 1$ теңдеуінің екі жағын $x+2$ өрнегіне көбейткенде пайда болады, бұл $x=-2$ бөгде түбірін қосады.

Ответ: $(x + 2)x^2 = x + 2$ теңдеуі $x^2 = 1$ теңдеуінің салдары болып табылады.

2) $x^3 = x$ және $x^3 + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x}$

Екі теңдеудің де түбірлерін табайық.

Бірінші теңдеу: $x^3 = x$.

Теңдеуді түрлендірейік:

$x^3 - x = 0$

$x(x^2 - 1) = 0$

$x(x - 1)(x + 1) = 0$

Бұл теңдеудің түбірлері: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

Бірінші теңдеудің түбірлер жиыны: $M_1 = \{ -1, 0, 1 \}$.

Екінші теңдеу: $x^3 + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x}$.

Бұл теңдеудің анықталу облысы $x \neq 0$, себебі бөлшектің бөлімі нөлге тең бола алмайды.

Теңдеудің екі жағынан да $\frac{1}{x}$ мүшесін алып тастайық (бұл $x \neq 0$ шартында мәндес түрлендіру):

$x^3 = x$

Бұл бірінші теңдеуге ұқсас, бірақ $x \neq 0$ шартымен.

$x^3 - x = 0$ теңдеуінің түбірлері $\{-1, 0, 1\}$ екенін білеміз. Анықталу облысын ескерсек ($x \neq 0$), $x=0$ түбірі шешім болмайды.

Сонымен, екінші теңдеудің түбірлері: $x_1 = 1$ және $x_2 = -1$.

Екінші теңдеудің түбірлер жиыны: $M_2 = \{ -1, 1 \}$.

Енді түбірлер жиынын салыстырайық: $M_1 = \{ -1, 0, 1 \}$ және $M_2 = \{ -1, 1 \}$.

$M_2 \subset M_1$ екенін көреміз, яғни екінші теңдеудің ($x^3 + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x}$) барлық түбірлері бірінші теңдеудің ($x^3 = x$) түбірлері болып табылады.

Демек, $x^3 = x$ теңдеуі $x^3 + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x}$ теңдеуінің салдары болады. Бұл екінші теңдеуді ықшамдағанда анықталу облысының кеңеюіне байланысты. Яғни, $x \neq 0$ шектеуі алынып тасталды.

Ответ: $x^3 = x$ теңдеуі $x^3 + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x}$ теңдеуінің салдары болып табылады.

Мәндес теңдеулер — бұл шешімдер жиыны бірдей болатын теңдеулер. Екі теңдеудің мәндес екенін анықтау үшін, олардың әрқайсысының шешімдерін тауып, шешімдер жиынын салыстыру керек.

1) $x^2 - 3 = 2x$ және $x^2 - 3 + \frac{1}{x+1} = 2x + \frac{1}{x+1}$

Алдымен бірінші теңдеуді шешеміз: $x^2 - 3 = 2x$.
Барлық мүшелерді теңдеудің сол жағына жинақтаймыз:
$x^2 - 2x - 3 = 0$.
Бұл квадраттық теңдеуді көбейткіштерге жіктеу арқылы шешуге болады:
$(x - 3)(x + 1) = 0$.
Бұдан теңдеудің екі түбірін табамыз: $x_1 = 3$ және $x_2 = -1$.
Сонымен, бірінші теңдеудің шешімдер жиыны $\{-1, 3\}$.

Енді екінші теңдеуді қарастырамыз: $x^2 - 3 + \frac{1}{x+1} = 2x + \frac{1}{x+1}$.
Бұл теңдеудің мүмкін мәндер жиыны (ММЖ) анықталады, себебі бөлшектің бөлімі нөлге тең бола алмайды: $x+1 \neq 0$, яғни $x \neq -1$.
Теңдеудің екі жағынан да $\frac{1}{x+1}$ өрнегін алып тастасақ, бірінші теңдеуге ұқсас теңдеу аламыз:
$x^2 - 3 = 2x$, немесе $x^2 - 2x - 3 = 0$.
Бұл теңдеудің түбірлері, жоғарыда тапқанымыздай, $x=3$ және $x=-1$.
Алайда, бұл түбірлерді екінші теңдеудің ММЖ-мен ($x \neq -1$) салыстыруымыз керек. $x=3$ түбірі ММЖ-ны қанағаттандырады, ал $x=-1$ түбірі қанағаттандырмайды, сондықтан ол бөгде түбір болып табылады.
Демек, екінші теңдеудің тек бір ғана шешімі бар: $x = 3$.
Екінші теңдеудің шешімдер жиыны $\{3\}$.

Бірінші теңдеудің шешімдер жиыны $\{-1, 3\}$, ал екінші теңдеудің шешімдер жиыны $\{3\}$. Бұл жиындар бірдей емес, сондықтан теңдеулер мәндес емес.

Ответ: Теңдеулер мәндес емес.

2) $\sqrt{(x-2)(x+3)} = 6$ және $\sqrt{x-2}\sqrt{x+3} = 6$

Алдымен бірінші теңдеуді қарастырамыз: $\sqrt{(x-2)(x+3)} = 6$.
Бұл теңдеудің ММЖ-ы түбір астындағы өрнектің теріс емес болуымен анықталады: $(x-2)(x+3) \ge 0$.
Бұл теңсіздіктің шешімі: $x \in (-\infty, -3] \cup [2, \infty)$.
Теңдеуді шешу үшін екі жағын да квадраттаймыз:
$(x-2)(x+3) = 36$
$x^2 + 3x - 2x - 6 = 36$
$x^2 + x - 42 = 0$
Виет теоремасы бойынша түбірлер $x_1 = -7$ және $x_2 = 6$.
Екі түбір де ММЖ-ға ($x \le -3$ немесе $x \ge 2$) сәйкес келеді. Демек, бірінші теңдеудің шешімдер жиыны $\{-7, 6\}$.

Енді екінші теңдеуді қарастырамыз: $\sqrt{x-2}\sqrt{x+3} = 6$.
Бұл теңдеудің ММЖ-ы екі түбір астындағы өрнектердің де теріс емес болуын талап етеді:
$x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$
және
$x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$
Екі шарттың қиылысуы $x \ge 2$ шартын береді. Сонымен, екінші теңдеудің ММЖ-ы: $x \in [2, \infty)$.
Теңдеуді шешу үшін екі жағын да квадраттаймыз (немесе түбірлерді біріктіреміз, себебі ММЖ-да екі түбір асты да оң):
$(x-2)(x+3) = 36$
$x^2 + x - 42 = 0$
Бұл теңдеудің түбірлері $x_1 = -7$ және $x_2 = 6$.
Бұл түбірлерді екінші теңдеудің ММЖ-сымен ($x \ge 2$) тексереміз. $x_1 = -7$ түбірі ММЖ-ға жатпайды, сондықтан ол бөгде түбір. $x_2 = 6$ түбірі ММЖ-ны қанағаттандырады ($6 \ge 2$).
Демек, екінші теңдеудің бір ғана шешімі бар: $x=6$.
Екінші теңдеудің шешімдер жиыны $\{6\}$.

Бірінші теңдеудің шешімдер жиыны $\{-7, 6\}$, ал екіншісінікі $\{6\}$. Шешімдер жиындары әртүрлі болғандықтан, бұл теңдеулер мәндес емес.

Ответ: Теңдеулер мәндес емес.

1) $(x^2 - 10)^2 + 2(x^2 - 10) + 1 = 0$

Для решения данного уравнения введем новую переменную. Пусть $y = x^2 - 10$. Тогда исходное уравнение примет вид:

$y^2 + 2y + 1 = 0$

Левая часть этого уравнения является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(y+1)^2 = 0$

Отсюда следует, что $y+1 = 0$, а значит $y = -1$.

Теперь выполним обратную замену, подставив найденное значение $y$ в выражение $y = x^2 - 10$:

$x^2 - 10 = -1$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$x^2 = 10 - 1$

$x^2 = 9$

Данное уравнение имеет два корня:

$x_1 = \sqrt{9} = 3$

$x_2 = -\sqrt{9} = -3$

Ответ: $-3; 3$.

2) $(x^2 - 8)^2 + 4(x^2 - 8) - 5 = 0$

Это уравнение также решается методом введения новой переменной. Пусть $y = x^2 - 8$. Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:

$y^2 + 4y - 5 = 0$

Получилось квадратное уравнение относительно $y$. Решим его с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $-4$, а их произведение равно $-5$. Этим условиям удовлетворяют числа $1$ и $-5$.

$y_1 = 1$, $y_2 = -5$.

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного корня.

Рассмотрим первый случай, когда $y = 1$:

$x^2 - 8 = 1$

$x^2 = 8 + 1$

$x^2 = 9$

Отсюда находим два корня: $x_{1,2} = \pm\sqrt{9} = \pm3$.

Рассмотрим второй случай, когда $y = -5$:

$x^2 - 8 = -5$

$x^2 = 8 - 5$

$x^2 = 3$

Отсюда находим еще два корня: $x_{3,4} = \pm\sqrt{3}$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре действительных корня.

Ответ: $\pm 3; \pm\sqrt{3}$.

1)

Исходное уравнение: $ \frac{x+56}{9x^2-16} + \frac{1}{8-6x} = \frac{18}{3x^2+4x} $.

Сначала разложим знаменатели дробей на множители, чтобы найти общий знаменатель.

Знаменатель первой дроби: $9x^2 - 16 = (3x)^2 - 4^2 = (3x-4)(3x+4)$ (формула разности квадратов).

Знаменатель второй дроби: $8 - 6x = 2(4 - 3x) = -2(3x - 4)$.

Знаменатель третьей дроби: $3x^2 + 4x = x(3x+4)$.

Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:

$ \frac{x+56}{(3x-4)(3x+4)} + \frac{1}{-2(3x-4)} = \frac{18}{x(3x+4)} $

$ \frac{x+56}{(3x-4)(3x+4)} - \frac{1}{2(3x-4)} = \frac{18}{x(3x+4)} $

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:

$3x-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{4}{3}$
$3x+4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{4}{3}$
$x \neq 0$

Таким образом, ОДЗ: $ x \neq -\frac{4}{3}, x \neq 0, x \neq \frac{4}{3} $.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для всех дробей: $2x(3x-4)(3x+4)$.

Умножим обе части уравнения на НОЗ, чтобы избавиться от дробей, при условии, что $x$ входит в ОДЗ:

$ (x+56) \cdot 2x - 1 \cdot x(3x+4) = 18 \cdot 2(3x-4) $

Раскроем скобки и упростим выражение:

$ 2x^2 + 112x - (3x^2 + 4x) = 36(3x-4) $

$ 2x^2 + 112x - 3x^2 - 4x = 108x - 144 $

$ -x^2 + 108x = 108x - 144 $

Вычтем $108x$ из обеих частей уравнения:

$ -x^2 = -144 $

$ x^2 = 144 $

Отсюда получаем два корня:

$ x_1 = \sqrt{144} = 12 $

$ x_2 = -\sqrt{144} = -12 $

Проверим, входят ли полученные корни в ОДЗ. Оба корня ($12$ и $-12$) не совпадают с исключенными значениями ($-\frac{4}{3}, 0, \frac{4}{3}$). Следовательно, оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $x = -12, x = 12$.

2)

Исходное уравнение: $ \sqrt{x^2+10x+25} - \sqrt{x^2-8x+16} = 5 $.

Заметим, что выражения под корнями являются полными квадратами (квадратами двучленов):

$x^2+10x+25 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x+5)^2$

$x^2-8x+16 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x-4)^2$

Подставим эти выражения в уравнение:

$ \sqrt{(x+5)^2} - \sqrt{(x-4)^2} = 5 $

Используем свойство квадратного корня $ \sqrt{a^2} = |a| $. Уравнение принимает вид:

$ |x+5| - |x-4| = 5 $

Для решения уравнения с модулями рассмотрим несколько случаев, раскрывая модули на разных интервалах. Нули подмодульных выражений: $x+5=0 \Rightarrow x = -5$ и $x-4=0 \Rightarrow x = 4$. Эти точки делят числовую прямую на три интервала.

Случай 1: $x < -5$

В этом интервале оба выражения под модулем отрицательны: $x+5 < 0$ и $x-4 < 0$. Следовательно, $|x+5| = -(x+5)$ и $|x-4| = -(x-4)$.

Уравнение становится:

$ -(x+5) - (-(x-4)) = 5 $

$ -x - 5 + x - 4 = 5 $

$ -9 = 5 $

Получили неверное равенство, значит, в этом интервале решений нет.

Случай 2: $-5 \le x < 4$

В этом интервале $x+5 \ge 0$, а $x-4 < 0$. Следовательно, $|x+5| = x+5$ и $|x-4| = -(x-4)$.

Уравнение становится:

$ (x+5) - (-(x-4)) = 5 $

$ x+5 + x - 4 = 5 $

$ 2x + 1 = 5 $

$ 2x = 4 $

$ x = 2 $

Корень $x=2$ принадлежит рассматриваемому интервалу $[-5, 4)$, следовательно, является решением.

Случай 3: $x \ge 4$

В этом интервале оба выражения под модулем неотрицательны: $x+5 > 0$ и $x-4 \ge 0$. Следовательно, $|x+5| = x+5$ и $|x-4| = x-4$.

Уравнение становится:

$ (x+5) - (x-4) = 5 $

$ x+5 - x + 4 = 5 $

$ 9 = 5 $

Получили неверное равенство, значит, в этом интервале решений нет.

Единственное решение, полученное при рассмотрении всех случаев, это $x=2$.

Ответ: $x = 2$.

1) Решим уравнение $\cos^2 x + 3\cos x = 0$ на отрезке $[0^\circ; 90^\circ]$.

Это уравнение является квадратным относительно $\cos x$. Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (\cos x + 3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:

а) $\cos x = 0$

б) $\cos x + 3 = 0$, то есть $\cos x = -3$

Уравнение $\cos x = -3$ не имеет решений, так как область значений функции косинус есть отрезок $[-1; 1]$, и значение $-3$ в этот отрезок не входит.

Решим уравнение $\cos x = 0$. Общее решение этого уравнения имеет вид $x = 90^\circ + 180^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[0^\circ; 90^\circ]$.

Подставим $k=0$: $x = 90^\circ + 180^\circ \cdot 0 = 90^\circ$.

Значение $90^\circ$ принадлежит отрезку $[0^\circ; 90^\circ]$.

При $k=1$, $x = 90^\circ + 180^\circ = 270^\circ$, что не входит в заданный отрезок.

При $k=-1$, $x = 90^\circ - 180^\circ = -90^\circ$, что также не входит в заданный отрезок.

Следовательно, единственным решением на данном отрезке является $x=90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

2) Решим уравнение $\tg^2 x = \tg x$ на отрезке $[0^\circ; 45^\circ]$.

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$\tg^2 x - \tg x = 0$

Вынесем общий множитель $\tg x$ за скобки:

$\tg x (\tg x - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:

а) $\tg x = 0$

б) $\tg x - 1 = 0$, то есть $\tg x = 1$

Решим каждое из этих уравнений и найдем корни, принадлежащие отрезку $[0^\circ; 45^\circ]$.

Для уравнения $\tg x = 0$ общее решение имеет вид $x = 180^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

При $k=0$ получаем $x=0^\circ$, что принадлежит отрезку $[0^\circ; 45^\circ]$. Другие целые значения $k$ дают корни за пределами этого отрезка.

Для уравнения $\tg x = 1$ общее решение имеет вид $x = 45^\circ + 180^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

При $k=0$ получаем $x=45^\circ$, что принадлежит отрезку $[0^\circ; 45^\circ]$. Другие целые значения $k$ дают корни за пределами этого отрезка.

Таким образом, на заданном отрезке уравнение имеет два корня.

Ответ: $0^\circ, 45^\circ$

1) $7^{2x} - 6 \cdot 7^x + 5 = 0$

Данное уравнение является показательным. Заметим, что $7^{2x}$ можно представить как $(7^x)^2$ согласно свойству степеней $(a^m)^n = a^{mn}$.
Уравнение принимает вид:
$(7^x)^2 - 6 \cdot 7^x + 5 = 0$
Это уравнение является квадратным относительно выражения $7^x$. Для его решения введем новую переменную.
Пусть $t = 7^x$. Поскольку значение показательной функции всегда положительно, должно выполняться условие $t > 0$.
Подставив $t$ в уравнение, получим стандартное квадратное уравнение:
$t^2 - 6t + 5 = 0$
Решим его с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{16}}{2} = \frac{6 - 4}{2} = 1$
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{6 + 4}{2} = 5$
Оба корня ($t_1 = 1$ и $t_2 = 5$) положительны, следовательно, удовлетворяют условию $t > 0$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену.
Для первого корня $t_1 = 1$:
$7^x = 1$
$7^x = 7^0$
$x_1 = 0$
Для второго корня $t_2 = 5$:
$7^x = 5$
По определению логарифма, $x_2 = \log_7 5$.
Ответ: $0; \log_7 5$.

2) $3^{x+1} + \frac{18}{3^x} = 29$

Преобразуем уравнение, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$3^x \cdot 3^1 + \frac{18}{3^x} = 29$
$3 \cdot 3^x + \frac{18}{3^x} = 29$
Введем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как $3^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.
После замены уравнение принимает вид:
$3t + \frac{18}{t} = 29$
Умножим обе части уравнения на $t$ (это возможно, так как $t \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателя:
$3t^2 + 18 = 29t$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$3t^2 - 29t + 18 = 0$
Решим это уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-29)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 18 = 841 - 216 = 625$
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 - \sqrt{625}}{2 \cdot 3} = \frac{29 - 25}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 + \sqrt{625}}{2 \cdot 3} = \frac{29 + 25}{6} = \frac{54}{6} = 9$
Оба корня ($t_1 = \frac{2}{3}$ и $t_2 = 9$) положительны и удовлетворяют условию $t > 0$.
Выполним обратную замену.
Для первого корня $t_1 = \frac{2}{3}$:
$3^x = \frac{2}{3}$
Прологарифмировав обе части по основанию 3, получим:
$x_1 = \log_3\left(\frac{2}{3}\right) = \log_3 2 - \log_3 3 = \log_3 2 - 1$
Для второго корня $t_2 = 9$:
$3^x = 9$
$3^x = 3^2$
$x_2 = 2$
Ответ: $\log_3 2 - 1; 2$.

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - y = 14 \\ 3x + y = 4 \end{cases} $

Для решения системы используем метод сложения. Сложим первое и второе уравнения, чтобы избавиться от переменной $y$:

$(x^2 - y) + (3x + y) = 14 + 4$

$x^2 + 3x = 18$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 3x - 18 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$

Корни уравнения для $x$:

$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 9}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 9}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$. Выразим $y$ из второго уравнения системы: $y = 4 - 3x$.

Если $x_1 = 3$, то:

$y_1 = 4 - 3(3) = 4 - 9 = -5$

Если $x_2 = -6$, то:

$y_2 = 4 - 3(-6) = 4 + 18 = 22$

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(3, -5), (-6, 22)$.

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2^x - 2^y = 24 \\ x + y = 8 \end{cases} $

Для решения системы используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим $x$:

$x = 8 - y$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$2^{8-y} - 2^y = 24$

Используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, преобразуем уравнение:

$\frac{2^8}{2^y} - 2^y = 24$

$\frac{256}{2^y} - 2^y = 24$

Введем новую переменную. Пусть $t = 2^y$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

$\frac{256}{t} - t = 24$

Умножим обе части уравнения на $t$ (поскольку $t \neq 0$):

$256 - t^2 = 24t$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$t^2 + 24t - 256 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 24^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-256) = 576 + 1024 = 1600 = 40^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-24 + 40}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$t_2 = \frac{-24 - 40}{2} = \frac{-64}{2} = -32$

Так как по условию замены $t > 0$, корень $t_2 = -32$ является посторонним и не подходит.

Вернемся к замене, используя $t_1 = 8$:

$2^y = 8$

$2^y = 2^3$

$y = 3$

Теперь найдем $x$ из уравнения $x = 8 - y$:

$x = 8 - 3 = 5$

Таким образом, решение системы: $(5, 3)$.

Ответ: $(5, 3)$.

1) $\cos x^2 = 0$ және $x^2 = \frac{\pi}{2}$

Чтобы определить, какое из уравнений является следствием другого, найдем множества решений для каждого из них. Уравнение (Б) является следствием уравнения (А), если множество решений уравнения (А) является подмножеством множества решений уравнения (Б).

Найдем множество решений первого уравнения $\cos x^2 = 0$.

Общее решение тригонометрического уравнения $\cos y = 0$ дается формулой $y = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

В нашем случае $y = x^2$, следовательно, $x^2 = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Так как $x^2$ не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$), то должно выполняться условие $\frac{\pi}{2} + \pi n \ge 0$. Решая это неравенство относительно $n$, получаем $\pi n \ge -\frac{\pi}{2}$, или $n \ge -0.5$. Поскольку $n$ является целым числом, оно может принимать значения $0, 1, 2, 3, \ldots$.

Таким образом, множество решений первого уравнения, обозначим его $M_1$, есть $M_1 = \{x | x = \pm\sqrt{\frac{\pi}{2} + \pi n}, n \in \{0, 1, 2, \ldots\}\}$.

Теперь найдем множество решений второго уравнения $x^2 = \frac{\pi}{2}$.

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем $x = \pm\sqrt{\frac{\pi}{2}}$.

Множество решений второго уравнения, обозначим его $M_2$, есть $M_2 = \{-\sqrt{\frac{\pi}{2}}, \sqrt{\frac{\pi}{2}}\}$.

Сравним множества $M_1$ и $M_2$. Множество $M_2$ получается из множества $M_1$ при $n=0$. Следовательно, $M_2$ является подмножеством $M_1$ ($M_2 \subset M_1$). Это означает, что каждое решение уравнения $x^2 = \frac{\pi}{2}$ также является решением уравнения $\cos x^2 = 0$. Таким образом, первое уравнение является следствием второго.

Ответ: Уравнение $\cos x^2 = 0$ является следствием уравнения $x^2 = \frac{\pi}{2}$.

2) $2\log_a x = 0$ және $\log_a x^2 = 0$

Найдем множества решений для каждого уравнения, учитывая их области допустимых значений (ОДЗ). Предполагаем, что основание логарифма $a$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \ne 1$.

Для первого уравнения $2\log_a x = 0$:

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $x > 0$.

Решаем уравнение: $2\log_a x = 0 \implies \log_a x = 0 \implies x = a^0 \implies x = 1$.

Полученное значение $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 > 0$).

Таким образом, множество решений первого уравнения $M_1 = \{1\}$.

Для второго уравнения $\log_a x^2 = 0$:

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $x^2 > 0$, что эквивалентно $x \ne 0$.

Решаем уравнение: $\log_a x^2 = 0 \implies x^2 = a^0 \implies x^2 = 1$.

Корнями этого уравнения являются $x = 1$ и $x = -1$. Оба значения удовлетворяют ОДЗ ($1 \ne 0$ и $-1 \ne 0$).

Таким образом, множество решений второго уравнения $M_2 = \{-1, 1\}$.

Сравним множества $M_1$ и $M_2$. Множество $M_1 = \{1\}$ является подмножеством множества $M_2 = \{-1, 1\}$ ($M_1 \subset M_2$). Это означает, что любое решение уравнения $2\log_a x = 0$ также является решением уравнения $\log_a x^2 = 0$. Таким образом, второе уравнение является следствием первого.

Ответ: Уравнение $\log_a x^2 = 0$ является следствием уравнения $2\log_a x = 0$.

1) $\sqrt{x^2+1} = x+1$ және $(\sqrt{x^2+1})^2 = (x+1)^2$

Екі теңдеудің мәндес (эквивалентті) болуы үшін олардың шешімдер жиыны бірдей болуы керек. Әр теңдеуді жеке-жеке қарастырайық.

Бірінші теңдеу: $\sqrt{x^2+1} = x+1$.
Бұл теңдеудің анықталу облысы (ОДЗ) екі шарттан тұрады:
1. Түбір астындағы өрнек теріс емес болуы керек: $x^2+1 \ge 0$. Бұл шарт $x$-тің кез келген нақты мәнінде орындалады.
2. Теңдеудің оң жағы теріс емес болуы керек, себебі арифметикалық квадрат түбірдің мәні әрқашан теріс емес: $x+1 \ge 0$, бұдан $x \ge -1$.
Сонымен, бірінші теңдеудің анықталу облысы: $x \in [-1, +\infty)$.
Енді теңдеуді шешейік, екі жағын да квадраттаймыз:
$(\sqrt{x^2+1})^2 = (x+1)^2$
$x^2+1 = x^2+2x+1$
$2x = 0$
$x = 0$
$x=0$ мәні $x \ge -1$ шартын қанағаттандырады, демек, бұл теңдеудің жалғыз шешімі. Бірінші теңдеудің шешімдер жиыны: $\{0\}$.

Екінші теңдеу: $(\sqrt{x^2+1})^2 = (x+1)^2$.
Бұл теңдеудің анықталу облысы $x^2+1 \ge 0$ шартымен анықталады, яғни $x$ кез келген нақты сан бола алады. $x \in (-\infty, +\infty)$.
Теңдеуді ықшамдайық:
$x^2+1 = x^2+2x+1$
$2x = 0$
$x = 0$
Екінші теңдеудің де шешімдер жиыны: $\{0\}$.

Екі теңдеудің де шешімдер жиыны $\{0\}$ болып сәйкес келеді. Демек, бұл теңдеулер мәндес болады.
Ответ: Иә, теңдеулер мәндес.

2) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ және $\tan x = 1$

Екі теңдеудің мәндес (эквивалентті) болуы үшін олардың шешімдер жиыны бірдей болуы керек. Әр теңдеудің шешімдер жиынын табайық.

Бірінші теңдеу: $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Бұл тригонометриялық теңдеудің жалпы шешімі келесі формуламен анықталады:
$x = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n$, мұндағы $n \in \mathbb{Z}$ (бүтін сандар).
$\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$ болғандықтан, шешімдер жиыны:
$x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Бұл жиынды екі топтамаға бөліп жазуға болады:
$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$ (бірінші ширектегі бұрыштар)
және
$x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$ (екінші ширектегі бұрыштар)

Екінші теңдеу: $\tan x = 1$.
Бұл теңдеудің жалпы шешімі:
$x = \arctan(1) + \pi n$, мұндағы $n \in \mathbb{Z}$.
$\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ болғандықтан, шешімдер жиыны:
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Бұл жиынды екі топтамаға бөліп жазуға болады:
$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$ (бірінші ширектегі бұрыштар)
және
$x = \frac{\pi}{4} + \pi + 2\pi k = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$ (үшінші ширектегі бұрыштар)

Екі теңдеудің шешімдер жиынын салыстырайық. Екі жиында да $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ түріндегі шешімдер бар. Алайда, бірінші теңдеудің $x = \frac{3\pi}{4}$ шешімі екінші теңдеуді қанағаттандырмайды, себебі $\tan(\frac{3\pi}{4}) = -1 \neq 1$. Сол сияқты, екінші теңдеудің $x = \frac{5\pi}{4}$ шешімі бірінші теңдеуді қанағаттандырмайды, себебі $\sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \neq \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Шешімдер жиындары әртүрлі болғандықтан, бұл теңдеулер мәндес емес.
Ответ: Жоқ, теңдеулер мәндес емес.

1)

Дано уравнение: $ \frac{1}{x^2 + 2x - 3} + \frac{18}{x^2 + 2x + 2} - \frac{18}{x^2 + 2x + 1} = 0 $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), для этого знаменатели дробей не должны быть равны нулю:

1. $x^2 + 2x - 3 \neq 0$. Решив квадратное уравнение, находим корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$. Значит, $x \neq 1$ и $x \neq -3$.

2. $x^2 + 2x + 2 \neq 0$. Дискриминант этого трехчлена $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 < 0$. Так как коэффициент при $x^2$ положителен, этот трехчлен всегда больше нуля.

3. $x^2 + 2x + 1 \neq 0$. Это полный квадрат: $(x+1)^2 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$.

Итак, ОДЗ: $x \neq -3$, $x \neq -1$, $x \neq 1$.

Заметим, что во всех знаменателях присутствует выражение $x^2 + 2x$. Сделаем замену переменной: $y = x^2 + 2x$.

Уравнение примет вид:

$ \frac{1}{y - 3} + \frac{18}{y + 2} - \frac{18}{y + 1} = 0 $

Сгруппируем второе и третье слагаемые:

$ \frac{1}{y - 3} + 18 \left( \frac{1}{y + 2} - \frac{1}{y + 1} \right) = 0 $

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$ \frac{1}{y - 3} + 18 \left( \frac{(y + 1) - (y + 2)}{(y + 2)(y + 1)} \right) = 0 $

$ \frac{1}{y - 3} + 18 \left( \frac{-1}{(y + 2)(y + 1)} \right) = 0 $

$ \frac{1}{y - 3} = \frac{18}{(y + 2)(y + 1)} $

По свойству пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$(y + 2)(y + 1) = 18(y - 3)$

$y^2 + y + 2y + 2 = 18y - 54$

$y^2 + 3y + 2 = 18y - 54$

$y^2 - 15y + 56 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 15, а произведение 56. Корни: $y_1 = 7$ и $y_2 = 8$.

Теперь выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 7$

$x^2 + 2x = 7 \Rightarrow x^2 + 2x - 7 = 0$.

Решим через дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 4 + 28 = 32$.

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-2 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{2}$.

Получаем два корня: $x_1 = -1 + 2\sqrt{2}$ и $x_2 = -1 - 2\sqrt{2}$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Случай 2: $y = 8$

$x^2 + 2x = 8 \Rightarrow x^2 + 2x - 8 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение -8. Корни: $x_3 = 2$ и $x_4 = -4$.

Оба корня ($2$ и $-4$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-4; -1 - 2\sqrt{2}; -1 + 2\sqrt{2}; 2$.

2)

Дано уравнение: $ \frac{x^2 - 8}{2x^2 + 8x} + \frac{x^2 + 3,5x}{2x^2 + 7x - 4} = \frac{2x - 5}{2x - 1} $.

Для начала найдем ОДЗ и упростим знаменатели, разложив их на множители.

1. $2x^2 + 8x = 2x(x + 4)$.

2. $2x^2 + 7x - 4$. Найдем корни: $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2$. Корни $x_{1,2} = \frac{-7 \pm 9}{4}$, откуда $x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{-16}{4} = -4$. Тогда разложение имеет вид $2x^2 + 7x - 4 = 2(x - 1/2)(x+4) = (2x-1)(x+4)$.

3. $2x - 1$.

Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому:

$2x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$

$x + 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4$

$2x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{2}$

ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-4, 0, \frac{1}{2}\}$.

Перепишем уравнение с разложенными на множители знаменателями:

$ \frac{x^2 - 8}{2x(x + 4)} + \frac{x^2 + 3,5x}{(2x - 1)(x + 4)} = \frac{2x - 5}{2x - 1} $

Общий знаменатель равен $2x(x+4)(2x-1)$. Умножим обе части уравнения на него:

$(x^2 - 8)(2x - 1) + (x^2 + 3,5x)(2x) = (2x - 5) \cdot 2x(x+4)$

Раскроем скобки и упростим:

$(2x^3 - x^2 - 16x + 8) + (2x^3 + 7x^2) = (2x - 5)(2x^2 + 8x)$

$4x^3 + 6x^2 - 16x + 8 = 4x^3 + 16x^2 - 10x^2 - 40x$

$4x^3 + 6x^2 - 16x + 8 = 4x^3 + 6x^2 - 40x$

Сократим одинаковые члены $4x^3$ и $6x^2$ в обеих частях уравнения:

$-16x + 8 = -40x$

Перенесем слагаемые с $x$ влево, а константы вправо:

$40x - 16x = -8$

$24x = -8$

$x = -\frac{8}{24} = -\frac{1}{3}$

Проверим, принадлежит ли корень $x = -1/3$ области допустимых значений. Так как $-1/3$ не равно $-4, 0$ или $1/2$, корень является решением уравнения.

Ответ: $-1/3$.