Номер 336, страница 164 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $\sqrt{x^2+1} = x+1$ және $(\sqrt{x^2+1})^2 = (x+1)^2$

Екі теңдеудің мәндес (эквивалентті) болуы үшін олардың шешімдер жиыны бірдей болуы керек. Әр теңдеуді жеке-жеке қарастырайық.

Бірінші теңдеу: $\sqrt{x^2+1} = x+1$.
Бұл теңдеудің анықталу облысы (ОДЗ) екі шарттан тұрады:
1. Түбір астындағы өрнек теріс емес болуы керек: $x^2+1 \ge 0$. Бұл шарт $x$-тің кез келген нақты мәнінде орындалады.
2. Теңдеудің оң жағы теріс емес болуы керек, себебі арифметикалық квадрат түбірдің мәні әрқашан теріс емес: $x+1 \ge 0$, бұдан $x \ge -1$.
Сонымен, бірінші теңдеудің анықталу облысы: $x \in [-1, +\infty)$.
Енді теңдеуді шешейік, екі жағын да квадраттаймыз:
$(\sqrt{x^2+1})^2 = (x+1)^2$
$x^2+1 = x^2+2x+1$
$2x = 0$
$x = 0$
$x=0$ мәні $x \ge -1$ шартын қанағаттандырады, демек, бұл теңдеудің жалғыз шешімі. Бірінші теңдеудің шешімдер жиыны: $\{0\}$.

Екінші теңдеу: $(\sqrt{x^2+1})^2 = (x+1)^2$.
Бұл теңдеудің анықталу облысы $x^2+1 \ge 0$ шартымен анықталады, яғни $x$ кез келген нақты сан бола алады. $x \in (-\infty, +\infty)$.
Теңдеуді ықшамдайық:
$x^2+1 = x^2+2x+1$
$2x = 0$
$x = 0$
Екінші теңдеудің де шешімдер жиыны: $\{0\}$.

Екі теңдеудің де шешімдер жиыны $\{0\}$ болып сәйкес келеді. Демек, бұл теңдеулер мәндес болады.
Ответ: Иә, теңдеулер мәндес.

2) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ және $\tan x = 1$

Екі теңдеудің мәндес (эквивалентті) болуы үшін олардың шешімдер жиыны бірдей болуы керек. Әр теңдеудің шешімдер жиынын табайық.

Бірінші теңдеу: $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Бұл тригонометриялық теңдеудің жалпы шешімі келесі формуламен анықталады:
$x = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n$, мұндағы $n \in \mathbb{Z}$ (бүтін сандар).
$\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$ болғандықтан, шешімдер жиыны:
$x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Бұл жиынды екі топтамаға бөліп жазуға болады:
$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$ (бірінші ширектегі бұрыштар)
және
$x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$ (екінші ширектегі бұрыштар)

Екінші теңдеу: $\tan x = 1$.
Бұл теңдеудің жалпы шешімі:
$x = \arctan(1) + \pi n$, мұндағы $n \in \mathbb{Z}$.
$\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ болғандықтан, шешімдер жиыны:
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Бұл жиынды екі топтамаға бөліп жазуға болады:
$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$ (бірінші ширектегі бұрыштар)
және
$x = \frac{\pi}{4} + \pi + 2\pi k = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$ (үшінші ширектегі бұрыштар)

Екі теңдеудің шешімдер жиынын салыстырайық. Екі жиында да $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ түріндегі шешімдер бар. Алайда, бірінші теңдеудің $x = \frac{3\pi}{4}$ шешімі екінші теңдеуді қанағаттандырмайды, себебі $\tan(\frac{3\pi}{4}) = -1 \neq 1$. Сол сияқты, екінші теңдеудің $x = \frac{5\pi}{4}$ шешімі бірінші теңдеуді қанағаттандырмайды, себебі $\sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \neq \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Шешімдер жиындары әртүрлі болғандықтан, бұл теңдеулер мәндес емес.
Ответ: Жоқ, теңдеулер мәндес емес.