Номер 338, страница 165 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дано уравнение $cos^2(\pi - x) + 8cos(\pi + x) = 0$ на отрезке $[90°; 270°]$.

Сначала упростим уравнение, используя формулы приведения:

Поскольку угол $(\pi - x)$ находится во второй четверти (если $x$ — острый угол), где косинус отрицателен, то $cos(\pi - x) = -cos(x)$. Тогда $cos^2(\pi - x) = (-cos(x))^2 = cos^2(x)$.

Поскольку угол $(\pi + x)$ находится в третьей четверти, где косинус также отрицателен, то $cos(\pi + x) = -cos(x)$.

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$cos^2(x) + 8(-cos(x)) = 0$

$cos^2(x) - 8cos(x) = 0$

Вынесем $cos(x)$ за скобки:

$cos(x)(cos(x) - 8) = 0$

Это уравнение распадается на два:

а) $cos(x) = 0$

Общее решение этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.

В градусах: $x = 90° + 180°n$.

б) $cos(x) - 8 = 0 \Rightarrow cos(x) = 8$

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $[-1, 1]$.

Теперь найдем корни, принадлежащие заданному отрезку $[90°; 270°]$, перебирая целые значения $n$ для $x = 90° + 180°n$.

При $n = 0$: $x = 90° + 180° \cdot 0 = 90°$. Этот корень принадлежит отрезку $[90°; 270°]$.

При $n = 1$: $x = 90° + 180° \cdot 1 = 270°$. Этот корень принадлежит отрезку $[90°; 270°]$.

При $n = 2$: $x = 90° + 180° \cdot 2 = 450°$. Этот корень не принадлежит отрезку.

При $n = -1$: $x = 90° + 180° \cdot (-1) = -90°$. Этот корень не принадлежит отрезку.

Следовательно, на заданном отрезке уравнение имеет два корня.

Ответ: $90°, 270°$.

2) Дано уравнение $cos2x - 2sin^2x = -3$ на отрезке $[0°; 180°]$.

Используем формулу косинуса двойного угла $cos2x = 1 - 2sin^2x$. Подставим ее в уравнение:

$(1 - 2sin^2x) - 2sin^2x = -3$

Упростим полученное выражение:

$1 - 4sin^2x = -3$

$-4sin^2x = -3 - 1$

$-4sin^2x = -4$

$sin^2x = 1$

Отсюда получаем два случая:

а) $sin(x) = 1$

Общее решение: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

В градусах: $x = 90° + 360°n$.

б) $sin(x) = -1$

Общее решение: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ (или $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$), где $n \in Z$.

В градусах: $x = -90° + 360°n$ (или $x = 270° + 360°n$).

Теперь выберем корни, принадлежащие заданному отрезку $[0°; 180°]$.

Для случая $sin(x) = 1$ и $x = 90° + 360°n$:

При $n = 0$: $x = 90° + 360° \cdot 0 = 90°$. Этот корень принадлежит отрезку $[0°; 180°]$.

Другие целые значения $n$ дают корни за пределами указанного отрезка.

Для случая $sin(x) = -1$ и $x = 270° + 360°n$:

При $n = 0$: $x = 270°$. Этот корень не принадлежит отрезку $[0°; 180°]$.

При $n = -1$: $x = 270° - 360° = -90°$. Этот корень не принадлежит отрезку.

Таким образом, на заданном отрезке уравнение имеет только один корень.

Ответ: $90°$.