Номер 337, страница 164 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Дано уравнение: $ \frac{1}{x^2 + 2x - 3} + \frac{18}{x^2 + 2x + 2} - \frac{18}{x^2 + 2x + 1} = 0 $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), для этого знаменатели дробей не должны быть равны нулю:

1. $x^2 + 2x - 3 \neq 0$. Решив квадратное уравнение, находим корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$. Значит, $x \neq 1$ и $x \neq -3$.

2. $x^2 + 2x + 2 \neq 0$. Дискриминант этого трехчлена $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 < 0$. Так как коэффициент при $x^2$ положителен, этот трехчлен всегда больше нуля.

3. $x^2 + 2x + 1 \neq 0$. Это полный квадрат: $(x+1)^2 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$.

Итак, ОДЗ: $x \neq -3$, $x \neq -1$, $x \neq 1$.

Заметим, что во всех знаменателях присутствует выражение $x^2 + 2x$. Сделаем замену переменной: $y = x^2 + 2x$.

Уравнение примет вид:

$ \frac{1}{y - 3} + \frac{18}{y + 2} - \frac{18}{y + 1} = 0 $

Сгруппируем второе и третье слагаемые:

$ \frac{1}{y - 3} + 18 \left( \frac{1}{y + 2} - \frac{1}{y + 1} \right) = 0 $

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$ \frac{1}{y - 3} + 18 \left( \frac{(y + 1) - (y + 2)}{(y + 2)(y + 1)} \right) = 0 $

$ \frac{1}{y - 3} + 18 \left( \frac{-1}{(y + 2)(y + 1)} \right) = 0 $

$ \frac{1}{y - 3} = \frac{18}{(y + 2)(y + 1)} $

По свойству пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$(y + 2)(y + 1) = 18(y - 3)$

$y^2 + y + 2y + 2 = 18y - 54$

$y^2 + 3y + 2 = 18y - 54$

$y^2 - 15y + 56 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 15, а произведение 56. Корни: $y_1 = 7$ и $y_2 = 8$.

Теперь выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 7$

$x^2 + 2x = 7 \Rightarrow x^2 + 2x - 7 = 0$.

Решим через дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 4 + 28 = 32$.

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-2 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{2}$.

Получаем два корня: $x_1 = -1 + 2\sqrt{2}$ и $x_2 = -1 - 2\sqrt{2}$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Случай 2: $y = 8$

$x^2 + 2x = 8 \Rightarrow x^2 + 2x - 8 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение -8. Корни: $x_3 = 2$ и $x_4 = -4$.

Оба корня ($2$ и $-4$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-4; -1 - 2\sqrt{2}; -1 + 2\sqrt{2}; 2$.

2)

Дано уравнение: $ \frac{x^2 - 8}{2x^2 + 8x} + \frac{x^2 + 3,5x}{2x^2 + 7x - 4} = \frac{2x - 5}{2x - 1} $.

Для начала найдем ОДЗ и упростим знаменатели, разложив их на множители.

1. $2x^2 + 8x = 2x(x + 4)$.

2. $2x^2 + 7x - 4$. Найдем корни: $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2$. Корни $x_{1,2} = \frac{-7 \pm 9}{4}$, откуда $x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{-16}{4} = -4$. Тогда разложение имеет вид $2x^2 + 7x - 4 = 2(x - 1/2)(x+4) = (2x-1)(x+4)$.

3. $2x - 1$.

Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому:

$2x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$

$x + 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4$

$2x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{2}$

ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-4, 0, \frac{1}{2}\}$.

Перепишем уравнение с разложенными на множители знаменателями:

$ \frac{x^2 - 8}{2x(x + 4)} + \frac{x^2 + 3,5x}{(2x - 1)(x + 4)} = \frac{2x - 5}{2x - 1} $

Общий знаменатель равен $2x(x+4)(2x-1)$. Умножим обе части уравнения на него:

$(x^2 - 8)(2x - 1) + (x^2 + 3,5x)(2x) = (2x - 5) \cdot 2x(x+4)$

Раскроем скобки и упростим:

$(2x^3 - x^2 - 16x + 8) + (2x^3 + 7x^2) = (2x - 5)(2x^2 + 8x)$

$4x^3 + 6x^2 - 16x + 8 = 4x^3 + 16x^2 - 10x^2 - 40x$

$4x^3 + 6x^2 - 16x + 8 = 4x^3 + 6x^2 - 40x$

Сократим одинаковые члены $4x^3$ и $6x^2$ в обеих частях уравнения:

$-16x + 8 = -40x$

Перенесем слагаемые с $x$ влево, а константы вправо:

$40x - 16x = -8$

$24x = -8$

$x = -\frac{8}{24} = -\frac{1}{3}$

Проверим, принадлежит ли корень $x = -1/3$ области допустимых значений. Так как $-1/3$ не равно $-4, 0$ или $1/2$, корень является решением уравнения.

Ответ: $-1/3$.