Номер 335, страница 164 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $\cos x^2 = 0$ және $x^2 = \frac{\pi}{2}$

Чтобы определить, какое из уравнений является следствием другого, найдем множества решений для каждого из них. Уравнение (Б) является следствием уравнения (А), если множество решений уравнения (А) является подмножеством множества решений уравнения (Б).

Найдем множество решений первого уравнения $\cos x^2 = 0$.

Общее решение тригонометрического уравнения $\cos y = 0$ дается формулой $y = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

В нашем случае $y = x^2$, следовательно, $x^2 = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Так как $x^2$ не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$), то должно выполняться условие $\frac{\pi}{2} + \pi n \ge 0$. Решая это неравенство относительно $n$, получаем $\pi n \ge -\frac{\pi}{2}$, или $n \ge -0.5$. Поскольку $n$ является целым числом, оно может принимать значения $0, 1, 2, 3, \ldots$.

Таким образом, множество решений первого уравнения, обозначим его $M_1$, есть $M_1 = \{x | x = \pm\sqrt{\frac{\pi}{2} + \pi n}, n \in \{0, 1, 2, \ldots\}\}$.

Теперь найдем множество решений второго уравнения $x^2 = \frac{\pi}{2}$.

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем $x = \pm\sqrt{\frac{\pi}{2}}$.

Множество решений второго уравнения, обозначим его $M_2$, есть $M_2 = \{-\sqrt{\frac{\pi}{2}}, \sqrt{\frac{\pi}{2}}\}$.

Сравним множества $M_1$ и $M_2$. Множество $M_2$ получается из множества $M_1$ при $n=0$. Следовательно, $M_2$ является подмножеством $M_1$ ($M_2 \subset M_1$). Это означает, что каждое решение уравнения $x^2 = \frac{\pi}{2}$ также является решением уравнения $\cos x^2 = 0$. Таким образом, первое уравнение является следствием второго.

Ответ: Уравнение $\cos x^2 = 0$ является следствием уравнения $x^2 = \frac{\pi}{2}$.

2) $2\log_a x = 0$ және $\log_a x^2 = 0$

Найдем множества решений для каждого уравнения, учитывая их области допустимых значений (ОДЗ). Предполагаем, что основание логарифма $a$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \ne 1$.

Для первого уравнения $2\log_a x = 0$:

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $x > 0$.

Решаем уравнение: $2\log_a x = 0 \implies \log_a x = 0 \implies x = a^0 \implies x = 1$.

Полученное значение $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 > 0$).

Таким образом, множество решений первого уравнения $M_1 = \{1\}$.

Для второго уравнения $\log_a x^2 = 0$:

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $x^2 > 0$, что эквивалентно $x \ne 0$.

Решаем уравнение: $\log_a x^2 = 0 \implies x^2 = a^0 \implies x^2 = 1$.

Корнями этого уравнения являются $x = 1$ и $x = -1$. Оба значения удовлетворяют ОДЗ ($1 \ne 0$ и $-1 \ne 0$).

Таким образом, множество решений второго уравнения $M_2 = \{-1, 1\}$.

Сравним множества $M_1$ и $M_2$. Множество $M_1 = \{1\}$ является подмножеством множества $M_2 = \{-1, 1\}$ ($M_1 \subset M_2$). Это означает, что любое решение уравнения $2\log_a x = 0$ также является решением уравнения $\log_a x^2 = 0$. Таким образом, второе уравнение является следствием первого.

Ответ: Уравнение $\log_a x^2 = 0$ является следствием уравнения $2\log_a x = 0$.