Номер 339, страница 165 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Исходное уравнение: $25^{\sqrt{x}} - 124 \cdot 5^{\sqrt{x}} = 125$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется существованием выражения $\sqrt{x}$, что требует $x \ge 0$.
Заметим, что $25 = 5^2$, поэтому $25^{\sqrt{x}} = (5^2)^{\sqrt{x}} = (5^{\sqrt{x}})^2$.
Перепишем уравнение в виде: $(5^{\sqrt{x}})^2 - 124 \cdot 5^{\sqrt{x}} - 125 = 0$.
Это уравнение является квадратным относительно $5^{\sqrt{x}}$. Сделаем замену переменной.
Пусть $y = 5^{\sqrt{x}}$. Так как показательная функция всегда положительна, то $y > 0$.
После замены уравнение принимает вид:
$y^2 - 124y - 125 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-124)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-125) = 15376 + 500 = 15876$.
$\sqrt{D} = \sqrt{15876} = 126$.
Найдем корни уравнения для $y$:
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{124 + 126}{2} = \frac{250}{2} = 125$.
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{124 - 126}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Проверим корни на соответствие условию $y > 0$.
$y_1 = 125$ удовлетворяет условию $y > 0$.
$y_2 = -1$ не удовлетворяет условию $y > 0$, поэтому этот корень является посторонним.
Выполним обратную замену для $y_1 = 125$:
$5^{\sqrt{x}} = 125$.
Поскольку $125 = 5^3$, получаем:
$5^{\sqrt{x}} = 5^3$.
Приравниваем показатели степени:
$\sqrt{x} = 3$.
Возводим обе части в квадрат:
$x = 3^2 = 9$.
Корень $x = 9$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).
Ответ: 9.

2) Исходное уравнение: $\log_x 5\sqrt{5} - 1,25 = (\log_x \sqrt{5})^2$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма $x$ должно быть положительным и не равным единице: $x > 0, x \neq 1$.
Упростим логарифмические выражения, используя свойства логарифмов и степеней:
$5\sqrt{5} = 5^1 \cdot 5^{1/2} = 5^{3/2}$.
$\sqrt{5} = 5^{1/2}$.
Следовательно:
$\log_x 5\sqrt{5} = \log_x (5^{3/2}) = \frac{3}{2} \log_x 5$.
$(\log_x \sqrt{5})^2 = (\log_x (5^{1/2}))^2 = (\frac{1}{2} \log_x 5)^2 = \frac{1}{4}(\log_x 5)^2$.
Также представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $1,25 = \frac{5}{4}$.
Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:
$\frac{3}{2} \log_x 5 - \frac{5}{4} = \frac{1}{4}(\log_x 5)^2$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_x 5$. Уравнение примет вид:
$\frac{3}{2} t - \frac{5}{4} = \frac{1}{4}t^2$.
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дробей:
$6t - 5 = t^2$.
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$t^2 - 6t + 5 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 5. Следовательно, корни:
$t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.
Выполним обратную замену для каждого из корней.
Случай 1: $t = 1$.
$\log_x 5 = 1$.
По определению логарифма, $x^1 = 5$.
Отсюда $x = 5$.
Случай 2: $t = 5$.
$\log_x 5 = 5$.
По определению логарифма, $x^5 = 5$.
Отсюда $x = \sqrt[5]{5}$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 0, x \neq 1$).
$x_1 = 5$. Это число удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = \sqrt[5]{5}$. Это число больше 1 (так как $1^5 = 1$), значит, удовлетворяет ОДЗ.
Оба корня являются решениями уравнения.
Ответ: $5; \sqrt[5]{5}$.