Номер 342, страница 165 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

342. Кез келген жағдайда теңдеулер жұбының мәндес екенін көрсетіндер:

1) $2\log_a f(x) = c$ және $\log_a f^2 (x) = c;$

2) $\frac{1}{2}\log_a f(x) = c$ және $\log_a f(x) = c;$

3) $3\log_a f(x) = c$ және $\log_a f^3 (x) = c;$

4) $\log_a f^2 (x) = c$ және $2\log_a |f(x)| = c.$

Для того чтобы доказать, что два уравнения равносильны (или мәндес), необходимо показать, что множества их решений совпадают. Это, в свою очередь, часто требует сравнения их областей допустимых значений (ОДЗ).

1) $2\log_a f(x) = c$ және $\log_a f^2(x) = c$

Сравним два уравнения. Для равносильности необходимо совпадение их ОДЗ и множеств решений.

Первое уравнение: $2\log_a f(x) = c$.

ОДЗ для этого уравнения определяется условием положительности аргумента логарифма: $f(x) > 0$. Решая уравнение, получаем: $\log_a f(x) = \frac{c}{2}$, что эквивалентно $f(x) = a^{c/2}$.

Второе уравнение: $\log_a f^2(x) = c$.

ОДЗ для этого уравнения: $f^2(x) > 0$, что означает $f(x) \neq 0$. Это более широкая область, чем $f(x) > 0$. Решая уравнение, получаем: $f^2(x) = a^c$, откуда $f(x) = \pm \sqrt{a^c} = \pm a^{c/2}$.

Так как ОДЗ и множества решений у уравнений различны, в общем случае они не являются равносильными. Первое уравнение является следствием второго. Однако, если рассматривать уравнения при дополнительном условии $f(x) > 0$, то ОДЗ обоих уравнений становятся одинаковыми. В этом случае $\log_a f^2(x) = 2\log_a f(x)$, и второе уравнение становится идентичным первому. В школьном курсе часто по умолчанию предполагается, что аргумент логарифмической функции положителен.

Ответ: Уравнения не являются равносильными в общем случае. Они равносильны при дополнительном условии $f(x) > 0$.

2) $\frac{1}{2}\log_a f(x) = c$ және $\log_a f(x) = c$

Рассмотрим данную пару уравнений. Из первого уравнения следует, что $\log_a f(x) = 2c$. Второе уравнение — $\log_a f(x) = c$. Равенство $2c=c$ выполняется только при $c=0$. Так как в задаче требуется доказать равносильность "в любом случае", в условии, по-видимому, допущена опечатка.

Предположим, что второе уравнение должно было иметь вид $\log_a \sqrt{f(x)} = c$. В этом случае:

Первое уравнение: $\frac{1}{2}\log_a f(x) = c$.

ОДЗ: $f(x) > 0$. Решение: $\log_a f(x) = 2c \implies f(x) = a^{2c}$.

Второе уравнение (исправленное): $\log_a \sqrt{f(x)} = c$.

ОДЗ: $\sqrt{f(x)} > 0$, что равносильно $f(x) > 0$. Решение: $\sqrt{f(x)} = a^c$. Возведя обе части в квадрат, получаем $f(x) = (a^c)^2 = a^{2c}$.

При такой коррекции ОДЗ и решения уравнений совпадают, следовательно, они равносильны.

Ответ: В представленной формулировке уравнения не равносильны (за исключением случая $c=0$). Если предположить, что второе уравнение имеет вид $\log_a \sqrt{f(x)} = c$, то уравнения равносильны.

3) $3\log_a f(x) = c$ және $\log_a f^3(x) = c$

Сравним ОДЗ и решения для данной пары уравнений.

Первое уравнение: $3\log_a f(x) = c$.

ОДЗ: $f(x) > 0$. Решение: $\log_a f(x) = \frac{c}{3} \implies f(x) = a^{c/3}$.

Второе уравнение: $\log_a f^3(x) = c$.

ОДЗ: $f^3(x) > 0$. Так как степень 3 — нечетная, это неравенство равносильно $f(x) > 0$. Таким образом, ОДЗ обоих уравнений совпадают.

Решение: $f^3(x) = a^c \implies f(x) = \sqrt[3]{a^c} = a^{c/3}$.

Поскольку ОДЗ и множества решений у обоих уравнений одинаковы, уравнения являются равносильными. Это связано с тем, что для нечетного показателя степени $p$ преобразование $\log_a M^p = p \log_a M$ является равносильным.

Ответ: Уравнения равносильны.

4) $\log_a f^2(x) = c$ және $2\log_a |f(x)| = c$

Сравним ОДЗ и решения для данной пары уравнений.

Первое уравнение: $\log_a f^2(x) = c$.

ОДЗ: $f^2(x) > 0$, что равносильно $f(x) \neq 0$.

Решение: $f^2(x) = a^c \implies |f(x)| = \sqrt{a^c} = a^{c/2}$, откуда $f(x) = \pm a^{c/2}$.

Второе уравнение: $2\log_a |f(x)| = c$.

ОДЗ: $|f(x)| > 0$, что равносильно $f(x) \neq 0$. ОДЗ совпадает с ОДЗ первого уравнения.

Решение: $\log_a |f(x)| = \frac{c}{2} \implies |f(x)| = a^{c/2}$, откуда $f(x) = \pm a^{c/2}$.

ОДЗ и множества решений обоих уравнений полностью совпадают. Это основано на свойстве логарифма для четной степени: $\log_b (M^{2n}) = 2n \log_b |M|$, которое справедливо для $M \neq 0$.

Ответ: Уравнения равносильны.