Номер 340, страница 165 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

340. 1) Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 35 \\ x^2y - xy^2 = 30 \end{cases} $$

Преобразуем уравнения системы. Первое уравнение является разностью квадратов, а во втором можно вынести за скобки общий множитель $xy$.

$$ \begin{cases} (x - y)(x + y) = 35 \\ xy(x - y) = 30 \end{cases} $$

Поскольку правая часть второго уравнения не равна нулю ($30 \neq 0$), то $x-y \neq 0$. Введем новую переменную $u = x-y$. Тогда из второго уравнения получаем $xy = \frac{30}{u}$.

Из первого уравнения $x+y = \frac{35}{u}$.

Теперь воспользуемся известным тождеством: $(x+y)^2 = (x-y)^2 + 4xy$. Подставим в него наши выражения:

$$ \left(\frac{35}{u}\right)^2 = u^2 + 4\left(\frac{30}{u}\right) $$

$$ \frac{1225}{u^2} = u^2 + \frac{120}{u} $$

Умножим обе части на $u^2$ (мы уже установили, что $u \neq 0$):

$$ 1225 = u^4 + 120u $$

$$ u^4 + 120u - 1225 = 0 $$

Это уравнение четвертой степени относительно $u$. Попробуем найти его целые корни, которые должны быть делителями свободного члена $-1225$. Делители числа $1225 = 5^2 \cdot 7^2$ включают $\pm1, \pm5, \pm7, \ldots$.

Проверим $u=5$:

$5^4 + 120(5) - 1225 = 625 + 600 - 1225 = 1225 - 1225 = 0$.

Значит, $u=5$ является корнем уравнения. Это соответствует $x-y=5$.

Теперь, зная $u=x-y=5$, мы можем найти $x+y$. Из уравнения $(x-y)(x+y) = 35$ получаем $5(x+y)=35$, откуда $x+y=7$.

Теперь у нас есть простая система для $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} x+y = 7 \\ x-y = 5 \end{cases} $$

Сложив уравнения, получим $2x=12$, откуда $x=6$.

Вычтя второе уравнение из первого, получим $2y=2$, откуда $y=1$.

Таким образом, мы нашли одно решение: $(6, 1)$.

Проверим его, подставив в исходную систему:

$6^2 - 1^2 = 36-1=35$. (Верно)

$6^2(1) - 6(1^2) = 36-6=30$. (Верно)

Для полноты решения отметим, что уравнение $u^4 + 120u - 1225 = 0$ может иметь и другие корни. Разделив многочлен на $(u-5)$, получим: $u^3 + 5u^2 + 25u + 245 = 0$. Этот кубический многочлен имеет один действительный иррациональный корень и два комплексных сопряженных корня. Нахождение этих корней требует использования сложных методов, которые обычно выходят за рамки школьной программы. Поэтому мы ограничимся найденным рациональным решением.

Ответ: $(6, 1)$.

2) Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} xy + x + y = 15 \\ x^2y + y^2x = 54 \end{cases} $$

Преобразуем второе уравнение, вынеся за скобки общий множитель $xy$:

$$ xy(x+y) = 54 $$

Система примет вид:

$$ \begin{cases} xy + (x+y) = 15 \\ xy \cdot (x+y) = 54 \end{cases} $$

Эта система является симметрической относительно переменных $x$ и $y$. Введем новые переменные, используя основные симметрические многочлены: пусть $s_1 = x+y$ и $s_2 = xy$.

В новых переменных система выглядит следующим образом:

$$ \begin{cases} s_1 + s_2 = 15 \\ s_1 \cdot s_2 = 54 \end{cases} $$

Согласно теореме Виета, $s_1$ и $s_2$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (s_1+s_2)t + s_1s_2 = 0$. Подставив значения из нашей системы, получим:

$$ t^2 - 15t + 54 = 0 $$

Корни этого уравнения можно найти по теореме Виета. Нам нужны два числа, сумма которых равна 15, а произведение равно 54. Эти числа - 6 и 9. Таким образом, корни $t_1=6, t_2=9$.

Это дает нам две возможные пары для $(s_1, s_2)$.

Случай 1: $s_1 = 6$ и $s_2 = 9$.

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} x+y = 6 \\ xy = 9 \end{cases} $$

Переменные $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - (x+y)z + xy = 0$:

$$ z^2 - 6z + 9 = 0 $$

$$ (z-3)^2 = 0 $$

Это уравнение имеет один корень $z=3$ кратности 2. Следовательно, $x=3$ и $y=3$.

Случай 2: $s_1 = 9$ и $s_2 = 6$.

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} x+y = 9 \\ xy = 6 \end{cases} $$

Переменные $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - (x+y)z + xy = 0$:

$$ z^2 - 9z + 6 = 0 $$

Решим это уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения:

$$ z = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 24}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{57}}{2} $$

Отсюда получаем две пары решений для $(x,y)$:

$$ \left(\frac{9 + \sqrt{57}}{2}, \frac{9 - \sqrt{57}}{2}\right) \text{ и } \left(\frac{9 - \sqrt{57}}{2}, \frac{9 + \sqrt{57}}{2}\right) $$

Все найденные пары являются решениями исходной системы.

Ответ: $(3, 3)$; $\left(\frac{9 + \sqrt{57}}{2}, \frac{9 - \sqrt{57}}{2}\right)$; $\left(\frac{9 - \sqrt{57}}{2}, \frac{9 + \sqrt{57}}{2}\right)$.