Номер 334, страница 164 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - y = 14 \\ 3x + y = 4 \end{cases} $

Для решения системы используем метод сложения. Сложим первое и второе уравнения, чтобы избавиться от переменной $y$:

$(x^2 - y) + (3x + y) = 14 + 4$

$x^2 + 3x = 18$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 3x - 18 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$

Корни уравнения для $x$:

$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 9}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 9}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$. Выразим $y$ из второго уравнения системы: $y = 4 - 3x$.

Если $x_1 = 3$, то:

$y_1 = 4 - 3(3) = 4 - 9 = -5$

Если $x_2 = -6$, то:

$y_2 = 4 - 3(-6) = 4 + 18 = 22$

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(3, -5), (-6, 22)$.

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2^x - 2^y = 24 \\ x + y = 8 \end{cases} $

Для решения системы используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим $x$:

$x = 8 - y$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$2^{8-y} - 2^y = 24$

Используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, преобразуем уравнение:

$\frac{2^8}{2^y} - 2^y = 24$

$\frac{256}{2^y} - 2^y = 24$

Введем новую переменную. Пусть $t = 2^y$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

$\frac{256}{t} - t = 24$

Умножим обе части уравнения на $t$ (поскольку $t \neq 0$):

$256 - t^2 = 24t$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$t^2 + 24t - 256 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 24^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-256) = 576 + 1024 = 1600 = 40^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-24 + 40}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$t_2 = \frac{-24 - 40}{2} = \frac{-64}{2} = -32$

Так как по условию замены $t > 0$, корень $t_2 = -32$ является посторонним и не подходит.

Вернемся к замене, используя $t_1 = 8$:

$2^y = 8$

$2^y = 2^3$

$y = 3$

Теперь найдем $x$ из уравнения $x = 8 - y$:

$x = 8 - 3 = 5$

Таким образом, решение системы: $(5, 3)$.

Ответ: $(5, 3)$.