Номер 328, страница 164 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

328. Берілген екі теңдеудің қайсысы екіншісінің салдары болатынын анықтаңдар:

1) $x^2 = 1$ және $(x + 2) x^2 = x + 2$;

2) $x^3 = x$ және $x^3 + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x}$.

1) $x^2 = 1$ және $(x + 2)x^2 = x + 2$

Бір теңдеудің екінші теңдеудің салдары болуы үшін, бірінші теңдеудің әрбір түбірі екінші теңдеудің де түбірі болуы керек. Екі теңдеудің де түбірлерін табайық.

Бірінші теңдеу: $x^2 = 1$.

Бұл теңдеудің түбірлері: $x_1 = 1$ және $x_2 = -1$.

Бірінші теңдеудің түбірлер жиыны: $M_1 = \{ -1, 1 \}$.

Екінші теңдеу: $(x + 2)x^2 = x + 2$.

Теңдеуді түрлендірейік:

$(x + 2)x^2 - (x + 2) = 0$

Ортақ көбейткішті жақша сыртына шығарамыз:

$(x + 2)(x^2 - 1) = 0$

Бұл теңдеудің шешімдері екі жағдайда орындалады:

$x + 2 = 0$ немесе $x^2 - 1 = 0$.

$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$.

$x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1$ немесе $x = -1$.

Екінші теңдеудің түбірлер жиыны: $M_2 = \{ -2, -1, 1 \}$.

Енді түбірлер жиынын салыстырайық: $M_1 = \{ -1, 1 \}$ және $M_2 = \{ -2, -1, 1 \}$.

$M_1 \subset M_2$ екенін көреміз, яғни бірінші теңдеудің ($x^2=1$) барлық түбірлері екінші теңдеудің ($(x + 2)x^2 = x + 2$) түбірлері болып табылады.

Демек, $(x + 2)x^2 = x + 2$ теңдеуі $x^2 = 1$ теңдеуінің салдары болады. Бұл $x^2 = 1$ теңдеуінің екі жағын $x+2$ өрнегіне көбейткенде пайда болады, бұл $x=-2$ бөгде түбірін қосады.

Ответ: $(x + 2)x^2 = x + 2$ теңдеуі $x^2 = 1$ теңдеуінің салдары болып табылады.

2) $x^3 = x$ және $x^3 + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x}$

Екі теңдеудің де түбірлерін табайық.

Бірінші теңдеу: $x^3 = x$.

Теңдеуді түрлендірейік:

$x^3 - x = 0$

$x(x^2 - 1) = 0$

$x(x - 1)(x + 1) = 0$

Бұл теңдеудің түбірлері: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

Бірінші теңдеудің түбірлер жиыны: $M_1 = \{ -1, 0, 1 \}$.

Екінші теңдеу: $x^3 + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x}$.

Бұл теңдеудің анықталу облысы $x \neq 0$, себебі бөлшектің бөлімі нөлге тең бола алмайды.

Теңдеудің екі жағынан да $\frac{1}{x}$ мүшесін алып тастайық (бұл $x \neq 0$ шартында мәндес түрлендіру):

$x^3 = x$

Бұл бірінші теңдеуге ұқсас, бірақ $x \neq 0$ шартымен.

$x^3 - x = 0$ теңдеуінің түбірлері $\{-1, 0, 1\}$ екенін білеміз. Анықталу облысын ескерсек ($x \neq 0$), $x=0$ түбірі шешім болмайды.

Сонымен, екінші теңдеудің түбірлері: $x_1 = 1$ және $x_2 = -1$.

Екінші теңдеудің түбірлер жиыны: $M_2 = \{ -1, 1 \}$.

Енді түбірлер жиынын салыстырайық: $M_1 = \{ -1, 0, 1 \}$ және $M_2 = \{ -1, 1 \}$.

$M_2 \subset M_1$ екенін көреміз, яғни екінші теңдеудің ($x^3 + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x}$) барлық түбірлері бірінші теңдеудің ($x^3 = x$) түбірлері болып табылады.

Демек, $x^3 = x$ теңдеуі $x^3 + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x}$ теңдеуінің салдары болады. Бұл екінші теңдеуді ықшамдағанда анықталу облысының кеңеюіне байланысты. Яғни, $x \neq 0$ шектеуі алынып тасталды.

Ответ: $x^3 = x$ теңдеуі $x^3 + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x}$ теңдеуінің салдары болып табылады.