Номер 7, страница 154 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Чтобы найти количество целых решений неравенства $lg(x^2 - 15x) \le 2$, необходимо решить это неравенство и посчитать количество целых чисел в полученном решении.

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ)
Выражение под знаком логарифма должно быть строго больше нуля:
$x^2 - 15x > 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x - 15) > 0$
Это квадратное неравенство. Корнями соответствующего уравнения $x(x-15)=0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 15$. Поскольку коэффициент при $x^2$ положительный, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется на интервалах, где парабола находится выше оси $x$.
ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (15, +\infty)$.

2. Решение логарифмического неравенства
Исходное неравенство:
$lg(x^2 - 15x) \le 2$
Представим число 2 как десятичный логарифм: $2 = lg(10^2) = lg(100)$.
$lg(x^2 - 15x) \le lg(100)$
Поскольку основание логарифма (10) больше 1, функция $y = lg(t)$ является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 15x \le 100$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 15x - 100 \le 0$
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 15x - 100 = 0$ по формуле корней через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 225 + 400 = 625 = 25^2$
$x_1 = \frac{15 - \sqrt{625}}{2} = \frac{15 - 25}{2} = -5$
$x_2 = \frac{15 + \sqrt{625}}{2} = \frac{15 + 25}{2} = 20$
Так как ветви параболы $y = x^2 - 15x - 100$ направлены вверх, неравенство $\le 0$ выполняется между корнями, включая сами корни.
Решение этого неравенства: $x \in [-5, 20]$.

3. Учет ОДЗ и нахождение итогового решения
Теперь найдем пересечение полученного решения $x \in [-5, 20]$ с областью допустимых значений $x \in (-\infty, 0) \cup (15, +\infty)$.
Искомое множество является объединением двух интервалов:
$[-5, 20] \cap (-\infty, 0) \Rightarrow [-5, 0)$
$[-5, 20] \cap (15, +\infty) \Rightarrow (15, 20]$
Общее решение неравенства: $x \in [-5, 0) \cup (15, 20]$.

4. Подсчет количества целых решений
Теперь нам нужно посчитать, сколько целых чисел содержится в множестве $x \in [-5, 0) \cup (15, 20]$.
Целые числа в интервале $[-5, 0)$: $-5, -4, -3, -2, -1$. Всего 5 целых чисел.
Целые числа в интервале $(15, 20]$: $16, 17, 18, 19, 20$. Всего 5 целых чисел.
Общее количество целых решений равно сумме: $5 + 5 = 10$.

Ответ: 10.