Страница 154 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Дано показательное уравнение: $11^{x-1} - 11^{x+2} + 1330 = 0$.
Для решения этого уравнения воспользуемся свойствами степеней: $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.
Преобразуем каждый член уравнения, содержащий переменную:
$11^{x-1} = \frac{11^x}{11^1} = \frac{11^x}{11}$
$11^{x+2} = 11^x \cdot 11^2 = 121 \cdot 11^x$
Теперь подставим эти выражения обратно в исходное уравнение:
$\frac{11^x}{11} - 121 \cdot 11^x + 1330 = 0$
Вынесем общий множитель $11^x$ за скобки:
$11^x \left(\frac{1}{11} - 121\right) + 1330 = 0$
Вычислим значение выражения в скобках:
$\frac{1}{11} - 121 = \frac{1}{11} - \frac{121 \cdot 11}{11} = \frac{1 - 1331}{11} = -\frac{1330}{11}$
Подставим результат обратно в уравнение:
$11^x \left(-\frac{1330}{11}\right) + 1330 = 0$
Перенесем слагаемое 1330 в правую часть уравнения, изменив его знак:
$11^x \left(-\frac{1330}{11}\right) = -1330$
Чтобы найти $11^x$, разделим обе части уравнения на $-\frac{1330}{11}$. Это эквивалентно умножению на $-\frac{11}{1330}$:
$11^x = -1330 \cdot \left(-\frac{11}{1330}\right)$
$11^x = 11$
Так как $11$ можно представить как $11^1$, получаем:
$11^x = 11^1$
Поскольку основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны:
$x = 1$
Проверка:
$11^{1-1} - 11^{1+2} + 1330 = 11^0 - 11^3 + 1330 = 1 - 1331 + 1330 = -1330 + 1330 = 0$.
$0 = 0$.
Решение верное.
Ответ: 1.

Для решения данного показательного неравенства $0,25^{2+0,5x^2} > 32^x$ необходимо привести обе его части к одному основанию. В качестве общего основания выберем число 2.

Преобразуем основания степеней:

$0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$

$32 = 2^5$

Теперь подставим эти выражения в исходное неравенство:

$(2^{-2})^{2+0,5x^2} > (2^5)^x$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим показатели степеней в обеих частях неравенства:

$2^{-2(2+0,5x^2)} > 2^{5x}$

$2^{-4-x^2} > 2^{5x}$

Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей знак неравенства сохраняется:

$-4-x^2 > 5x$

Мы получили квадратное неравенство. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид:

$-x^2 - 5x - 4 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x^2 + 5x + 4 < 0$

Чтобы решить это неравенство, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 5x + 4 = 0$.

Используем теорему Виета:

Сумма корней $x_1 + x_2 = -5$.

Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 4$.

Подбором находим корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = -1$.

Графиком функции $y = x^2 + 5x + 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $x^2 + 5x + 4 < 0$ выполняется на интервале между корнями, то есть там, где парабола находится ниже оси Ox.

Таким образом, решением неравенства является интервал $x \in (-4; -1)$.

В задании требуется найти наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству. Целые числа, принадлежащие интервалу $(-4; -1)$, это -3 и -2.

Наибольшее из этих целых чисел — это -2.

Ответ: -2.

Чтобы найти значения x, при которых функция $y = \log_{6}(x^2 + 6x) - 3$ принимает отрицательные значения, необходимо решить неравенство $y < 0$:

$ \log_{6}(x^2 + 6x) - 3 < 0 $

Это логарифмическое неравенство равносильно системе из двух условий: одно определяет область допустимых значений (ОДЗ) логарифма, а второе является самим неравенством.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$ x^2 + 6x > 0 $
Вынесем x за скобки:
$ x(x + 6) > 0 $
Корнями соответствующего уравнения $x(x+6)=0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = -6$. Поскольку это парабола с ветвями, направленными вверх, неравенство выполняется на интервалах вне корней.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -6) \cup (0; +\infty)$.

2. Решим основное неравенство.
Перенесем 3 в правую часть:

$ \log_{6}(x^2 + 6x) < 3 $
Представим правую часть в виде логарифма с тем же основанием 6. Так как $3 = \log_{6}(6^3) = \log_{6}(216)$, получаем:
$ \log_{6}(x^2 + 6x) < \log_{6}(216) $
Основание логарифма $6 > 1$, поэтому логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:
$ x^2 + 6x < 216 $
$ x^2 + 6x - 216 < 0 $

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 6x - 216 = 0$ через дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-216) = 36 + 864 = 900 $
$ \sqrt{D} = 30 $
$ x_1 = \frac{-6 - 30}{2} = \frac{-36}{2} = -18 $
$ x_2 = \frac{-6 + 30}{2} = \frac{24}{2} = 12 $
Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 + 6x - 216 < 0$ выполняется между корнями.
Решение этого неравенства: $x \in (-18; 12)$.

3. Найдем общее решение.
Общее решение является пересечением ОДЗ и решения основного неравенства:

$ ((-\infty; -6) \cup (0; +\infty)) \cap (-18; 12) $

Пересечение интервала $(-18; 12)$ с $(-\infty; -6)$ дает $(-18; -6)$.
Пересечение интервала $(-18; 12)$ с $(0; +\infty)$ дает $(0; 12)$.

Объединив эти результаты, получаем окончательное решение: $x \in (-18; -6) \cup (0; 12)$. Этот интервал соответствует варианту D.

Ответ: D. $(-18; -6) \cup (0; 12)$

Для решения данной системы уравнений $ \begin{cases} 3^y = 27^x \\ \log_2(y - x^2) = 1 \end{cases} $ выполним следующие преобразования.
Сначала упростим первое уравнение. Поскольку $27$ это $3^3$, мы можем переписать уравнение как $3^y = (3^3)^x$. Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем $3^y = 3^{3x}$. Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $y = 3x$.
Теперь преобразуем второе уравнение. По определению логарифма, уравнение $\log_2(y - x^2) = 1$ эквивалентно уравнению $y - x^2 = 2^1$, что упрощается до $y - x^2 = 2$.
В результате мы получаем новую, более простую систему уравнений:$ \begin{cases} y = 3x \\ y - x^2 = 2 \end{cases} $
Решим эту систему методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:$3x - x^2 = 2$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$x^2 - 3x + 2 = 0$
Это уравнение можно решить, разложив его на множители. Найдем два числа, произведение которых равно $2$, а сумма равна $-3$. Этими числами являются $-1$ и $-2$. Таким образом, уравнение можно записать в виде:$(x - 1)(x - 2) = 0$
Из этого уравнения мы находим два возможных значения для $x$:$x_1 = 1$$x_2 = 2$
Далее, найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$ с помощью уравнения $y = 3x$.
При $x_1 = 1$:$y_1 = 3 \cdot 1 = 3$Таким образом, первая пара решений — $(1; 3)$.
При $x_2 = 2$:$y_2 = 3 \cdot 2 = 6$Таким образом, вторая пара решений — $(2; 6)$.
Наконец, необходимо проверить, что найденные решения удовлетворяют области допустимых значений исходной системы. В частности, аргумент логарифма должен быть положительным: $y - x^2 > 0$.
Для пары $(1; 3)$: $3 - 1^2 = 3 - 1 = 2$. Поскольку $2 > 0$, это решение является действительным.
Для пары $(2; 6)$: $6 - 2^2 = 6 - 4 = 2$. Поскольку $2 > 0$, это решение также является действительным.
Таким образом, система уравнений имеет два решения: $(1; 3)$ и $(2; 6)$.
Ответ: D. (1; 3), (2; 6).

Для решения данной системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Решение первого неравенства: $x^2 + x - 6 \ge 0$
Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 6 = 0$.
Используя теорему Виета, находим корни:
$x_1 + x_2 = -1$
$x_1 \cdot x_2 = -6$
Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.
Графиком функции $y = x^2 + x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше 0).
Следовательно, неравенство $x^2 + x - 6 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями, включая сами корни.
Решением первого неравенства является объединение промежутков: $x \in (-\infty, -3] \cup [2, +\infty)$.

Решение второго неравенства: $\log_4^2 x - \log_4 x - 6 < 0$
В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $x > 0$.
Введем замену переменной. Пусть $t = \log_4 x$. Неравенство принимает вид:
$t^2 - t - 6 < 0$
Это квадратное неравенство относительно $t$. Найдем корни уравнения $t^2 - t - 6 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.
Парабола $y = t^2 - t - 6$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 - t - 6 < 0$ выполняется для значений $t$, находящихся между корнями.
$-2 < t < 3$
Теперь выполним обратную замену:
$-2 < \log_4 x < 3$
Поскольку основание логарифма $4 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому, потенцируя двойное неравенство, получаем:
$4^{-2} < x < 4^3$
$\frac{1}{16} < x < 64$
Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Решением второго неравенства является интервал: $x \in (\frac{1}{16}, 64)$.

Нахождение решения системы
Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:
Решение 1: $x \in (-\infty, -3] \cup [2, +\infty)$
Решение 2: $x \in (\frac{1}{16}, 64)$
Общее решение системы — это множество значений $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно.
Пересечение множеств $((-\infty, -3] \cup [2, +\infty))$ и $(\frac{1}{16}, 64)$ есть промежуток $[2, 64)$.

Ответ: $[2, 64)$

Для решения данного показательного неравенства приведем все его части к одному основанию, равному 5.

Исходное неравенство: $$ \frac{1}{125} \le 5^{-x+5} < 3125 $$

Представим левую часть неравенства в виде степени с основанием 5: $$ \frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3} $$

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 5: $$ 3125 = 5^5 $$

Подставим полученные выражения в исходное неравенство: $$ 5^{-3} \le 5^{-x+5} < 5^5 $$

Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что мы можем перейти к неравенству для показателей степеней, сохранив знаки неравенства: $$ -3 \le -x+5 < 5 $$

Теперь решим полученное двойное линейное неравенство относительно переменной $x$. Сначала вычтем 5 из всех частей неравенства: $$ -3 - 5 \le -x + 5 - 5 < 5 - 5 $$ $$ -8 \le -x < 0 $$

Далее, умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $$ (-1) \cdot (-8) \ge (-1) \cdot (-x) > (-1) \cdot 0 $$ $$ 8 \ge x > 0 $$

Запишем это неравенство в более привычном виде: $$ 0 < x \le 8 $$

Вопрос "неше шешімі бар?" ("сколько решений существует?") в данном контексте предполагает нахождение количества целочисленных решений. Найдем все целые числа $x$, которые удовлетворяют неравенству $0 < x \le 8$. Это числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Таким образом, неравенство имеет 8 целых решений.

Ответ: C. 8;

Чтобы найти количество целых решений неравенства $lg(x^2 - 15x) \le 2$, необходимо решить это неравенство и посчитать количество целых чисел в полученном решении.

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ)
Выражение под знаком логарифма должно быть строго больше нуля:
$x^2 - 15x > 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x - 15) > 0$
Это квадратное неравенство. Корнями соответствующего уравнения $x(x-15)=0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 15$. Поскольку коэффициент при $x^2$ положительный, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется на интервалах, где парабола находится выше оси $x$.
ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (15, +\infty)$.

2. Решение логарифмического неравенства
Исходное неравенство:
$lg(x^2 - 15x) \le 2$
Представим число 2 как десятичный логарифм: $2 = lg(10^2) = lg(100)$.
$lg(x^2 - 15x) \le lg(100)$
Поскольку основание логарифма (10) больше 1, функция $y = lg(t)$ является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 15x \le 100$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 15x - 100 \le 0$
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 15x - 100 = 0$ по формуле корней через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 225 + 400 = 625 = 25^2$
$x_1 = \frac{15 - \sqrt{625}}{2} = \frac{15 - 25}{2} = -5$
$x_2 = \frac{15 + \sqrt{625}}{2} = \frac{15 + 25}{2} = 20$
Так как ветви параболы $y = x^2 - 15x - 100$ направлены вверх, неравенство $\le 0$ выполняется между корнями, включая сами корни.
Решение этого неравенства: $x \in [-5, 20]$.

3. Учет ОДЗ и нахождение итогового решения
Теперь найдем пересечение полученного решения $x \in [-5, 20]$ с областью допустимых значений $x \in (-\infty, 0) \cup (15, +\infty)$.
Искомое множество является объединением двух интервалов:
$[-5, 20] \cap (-\infty, 0) \Rightarrow [-5, 0)$
$[-5, 20] \cap (15, +\infty) \Rightarrow (15, 20]$
Общее решение неравенства: $x \in [-5, 0) \cup (15, 20]$.

4. Подсчет количества целых решений
Теперь нам нужно посчитать, сколько целых чисел содержится в множестве $x \in [-5, 0) \cup (15, 20]$.
Целые числа в интервале $[-5, 0)$: $-5, -4, -3, -2, -1$. Всего 5 целых чисел.
Целые числа в интервале $(15, 20]$: $16, 17, 18, 19, 20$. Всего 5 целых чисел.
Общее количество целых решений равно сумме: $5 + 5 = 10$.

Ответ: 10.