Номер 3, страница 154 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Чтобы найти значения x, при которых функция $y = \log_{6}(x^2 + 6x) - 3$ принимает отрицательные значения, необходимо решить неравенство $y < 0$:

$ \log_{6}(x^2 + 6x) - 3 < 0 $

Это логарифмическое неравенство равносильно системе из двух условий: одно определяет область допустимых значений (ОДЗ) логарифма, а второе является самим неравенством.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$ x^2 + 6x > 0 $
Вынесем x за скобки:
$ x(x + 6) > 0 $
Корнями соответствующего уравнения $x(x+6)=0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = -6$. Поскольку это парабола с ветвями, направленными вверх, неравенство выполняется на интервалах вне корней.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -6) \cup (0; +\infty)$.

2. Решим основное неравенство.
Перенесем 3 в правую часть:

$ \log_{6}(x^2 + 6x) < 3 $
Представим правую часть в виде логарифма с тем же основанием 6. Так как $3 = \log_{6}(6^3) = \log_{6}(216)$, получаем:
$ \log_{6}(x^2 + 6x) < \log_{6}(216) $
Основание логарифма $6 > 1$, поэтому логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:
$ x^2 + 6x < 216 $
$ x^2 + 6x - 216 < 0 $

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 6x - 216 = 0$ через дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-216) = 36 + 864 = 900 $
$ \sqrt{D} = 30 $
$ x_1 = \frac{-6 - 30}{2} = \frac{-36}{2} = -18 $
$ x_2 = \frac{-6 + 30}{2} = \frac{24}{2} = 12 $
Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 + 6x - 216 < 0$ выполняется между корнями.
Решение этого неравенства: $x \in (-18; 12)$.

3. Найдем общее решение.
Общее решение является пересечением ОДЗ и решения основного неравенства:

$ ((-\infty; -6) \cup (0; +\infty)) \cap (-18; 12) $

Пересечение интервала $(-18; 12)$ с $(-\infty; -6)$ дает $(-18; -6)$.
Пересечение интервала $(-18; 12)$ с $(0; +\infty)$ дает $(0; 12)$.

Объединив эти результаты, получаем окончательное решение: $x \in (-18; -6) \cup (0; 12)$. Этот интервал соответствует варианту D.

Ответ: D. $(-18; -6) \cup (0; 12)$