Номер 326, страница 153 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Найдем область определения функции $f(x) = \lg(4 - x^2) + \sqrt{\frac{1 + \lg^2 x}{\lg x^2} - 1}$.

Область определения функции есть пересечение областей определения ее слагаемых. Для того чтобы функция была определена, должны одновременно выполняться следующие условия:

1. Аргумент логарифма $\lg(4 - x^2)$ должен быть строго положительным:
$4 - x^2 > 0$
$x^2 < 4$
$-2 < x < 2$, то есть $x \in (-2, 2)$.

2. Аргументы логарифмов в другом слагаемом также должны быть положительны, а знаменатель не должен быть равен нулю:
Из $\lg x$ следует, что $x > 0$.
Из знаменателя $\lg x^2$ следует, что $x^2 \neq 1$, то есть $x \neq \pm 1$. С учетом $x > 0$, получаем $x \neq 1$.

3. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$\frac{1 + \lg^2 x}{\lg x^2} - 1 \ge 0$
Используя свойство логарифма $\lg x^2 = 2 \lg x$, преобразуем неравенство:
$\frac{1 + \lg^2 x}{2 \lg x} - 1 \ge 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{1 + \lg^2 x - 2 \lg x}{2 \lg x} \ge 0$
$\frac{(\lg x - 1)^2}{2 \lg x} \ge 0$
Числитель $(\lg x - 1)^2$ всегда неотрицателен. Так как знаменатель не может быть равен нулю, то $\lg x \neq 0$, что означает $x \neq 1$. Для того чтобы дробь была неотрицательной, необходимо, чтобы знаменатель был положительным (так как числитель неотрицателен).
$2 \lg x > 0$
$\lg x > 0$
$x > 10^0$
$x > 1$.

Теперь найдем пересечение всех полученных условий:

• $x \in (-2, 2)$
• $x > 0$
• $x \neq 1$
• $x > 1$

Ответ: $x \in (1, 2)$.

2) Найдем область определения функции $f(x) = \sqrt{\log_{\frac{1}{3}} \log_3 (x - 3)} + \sqrt{x^2 - 25}$.

Область определения функции есть пересечение областей определения двух слагаемых, содержащих квадратные корни. Для этого необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны. Запишем систему неравенств:

$\begin{cases} \log_{\frac{1}{3}} (\log_3 (x - 3)) \ge 0, \\ x^2 - 25 \ge 0. \end{cases}$

Решим второе неравенство:
$x^2 - 25 \ge 0$
$(x - 5)(x + 5) \ge 0$
$x \in (-\infty, -5] \cup [5, +\infty)$.

Теперь решим первое неравенство. Оно, в свою очередь, накладывает дополнительные ограничения на аргументы логарифмов.
а) Аргумент внутреннего логарифма должен быть положителен:
$x - 3 > 0 \implies x > 3$.
б) Аргумент внешнего логарифма также должен быть положителен:
$\log_3(x - 3) > 0$
$\log_3(x - 3) > \log_3(1)$
Так как основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$x - 3 > 1 \implies x > 4$.
в) Решим само неравенство:
$\log_{\frac{1}{3}} (\log_3 (x - 3)) \ge 0$
Представим 0 как логарифм с тем же основанием: $0 = \log_{\frac{1}{3}}(1)$.
$\log_{\frac{1}{3}} (\log_3 (x - 3)) \ge \log_{\frac{1}{3}}(1)$
Так как основание логарифма $\frac{1}{3} < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:
$\log_3(x - 3) \le 1$
Представим 1 как логарифм: $1 = \log_3(3)$.
$\log_3(x - 3) \le \log_3(3)$
Так как основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$x - 3 \le 3 \implies x \le 6$.

Теперь найдем пересечение всех полученных условий:

• $x \in (-\infty, -5] \cup [5, +\infty)$
• $x > 4$
• $x \le 6$

Таким образом, область определения функции: $x \in [5, 6]$.

Ответ: $x \in [5, 6]$.