Номер 319, страница 152 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Исходное неравенство: $log_{\frac{1}{6}}(log_2 \sqrt{6-x}) > 0$.
Так как основание внешнего логарифма $\frac{1}{6} < 1$, при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный. Также необходимо учесть, что аргумент логарифма должен быть строго положительным. Получаем двойное неравенство:
$0 < log_2 \sqrt{6-x} < (\frac{1}{6})^0$
$0 < log_2 \sqrt{6-x} < 1$
Это неравенство равносильно системе:
$ \begin{cases} log_2 \sqrt{6-x} > 0 \\ log_2 \sqrt{6-x} < 1 \end{cases} $
Решим первое неравенство. Так как основание $2 > 1$, знак не меняется:
$log_2 \sqrt{6-x} > log_2 1$
$\sqrt{6-x} > 1$
Обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:
$6-x > 1$
$5 > x$, или $x < 5$.
Решим второе неравенство. Так как основание $2 > 1$, знак не меняется:
$log_2 \sqrt{6-x} < log_2 2$
$\sqrt{6-x} < 2$
Область допустимых значений для этого неравенства определяется условием $6-x \geq 0$, то есть $x \leq 6$. На этой области можно возвести в квадрат:
$6-x < 4$
$2 < x$, или $x > 2$.
Область определения исходного неравенства задается условием $log_2 \sqrt{6-x} > 0$. Решение этого неравенства, $x < 5$, уже включает в себя все остальные ограничения ОДЗ ($\sqrt{6-x} > 0 \Rightarrow 6-x > 0 \Rightarrow x < 6$).
Объединяем решения системы:
$ \begin{cases} x < 5 \\ x > 2 \end{cases} $
Пересечением этих интервалов является $2 < x < 5$.
Ответ: $x \in (2; 5)$.

2) Исходное неравенство: $log_{\frac{1}{2}}(log_3 \frac{x+1}{x-1}) \geq 0$.
Так как основание внешнего логарифма $\frac{1}{2} < 1$, знак неравенства меняется. Также аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$0 < log_3 \frac{x+1}{x-1} \leq (\frac{1}{2})^0$
$0 < log_3 \frac{x+1}{x-1} \leq 1$
Перейдем к системе неравенств:
$ \begin{cases} log_3 \frac{x+1}{x-1} > 0 \\ log_3 \frac{x+1}{x-1} \leq 1 \end{cases} $
Решим первое неравенство (основание $3 > 1$):
$\frac{x+1}{x-1} > 3^0 \Rightarrow \frac{x+1}{x-1} > 1 \Rightarrow \frac{x+1}{x-1} - 1 > 0 \Rightarrow \frac{x+1-x+1}{x-1} > 0 \Rightarrow \frac{2}{x-1} > 0$
Отсюда следует, что $x-1 > 0$, то есть $x > 1$.
Решим второе неравенство (основание $3 > 1$):
$\frac{x+1}{x-1} \leq 3^1 \Rightarrow \frac{x+1}{x-1} - 3 \leq 0 \Rightarrow \frac{x+1-3(x-1)}{x-1} \leq 0 \Rightarrow \frac{x+1-3x+3}{x-1} \leq 0 \Rightarrow \frac{4-2x}{x-1} \leq 0$
Решим методом интервалов. Нули числителя: $x=2$. Нуль знаменателя: $x=1$.
На числовой прямой отмечаем точки $1$ (выколотая) и $2$ (закрашенная) и проверяем знаки выражения $\frac{4-2x}{x-1}$ на интервалах $(-\infty, 1)$, $(1, 2]$, $[2, \infty)$.
Получаем решение: $x \in (-\infty, 1) \cup [2, \infty)$.
Область определения исходного неравенства: $x > 1$.
Находим пересечение решения второго неравенства с ОДЗ: $(x \in (-\infty, 1) \cup [2, \infty)) \cap (x > 1)$.
Пересечением является $x \geq 2$.
Ответ: $x \in [2; +\infty)$.

3) Исходное неравенство: $log_{0.5}(log_5 \frac{x-2}{x+2}) \geq log_{0.5} 1$.
Так как $log_{0.5} 1 = 0$, неравенство имеет вид: $log_{0.5}(log_5 \frac{x-2}{x+2}) \geq 0$.
Основание $0.5 < 1$, поэтому знак неравенства меняется. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$0 < log_5 \frac{x-2}{x+2} \leq (0.5)^0$
$0 < log_5 \frac{x-2}{x+2} \leq 1$
Переходим к системе:
$ \begin{cases} log_5 \frac{x-2}{x+2} > 0 \\ log_5 \frac{x-2}{x+2} \leq 1 \end{cases} $
Решим первое неравенство (основание $5 > 1$):
$\frac{x-2}{x+2} > 5^0 \Rightarrow \frac{x-2}{x+2} > 1 \Rightarrow \frac{x-2}{x+2} - 1 > 0 \Rightarrow \frac{x-2-(x+2)}{x+2} > 0 \Rightarrow \frac{-4}{x+2} > 0$
Это неравенство выполняется, когда знаменатель отрицателен: $x+2 < 0 \Rightarrow x < -2$.
Решим второе неравенство (основание $5 > 1$):
$\frac{x-2}{x+2} \leq 5^1 \Rightarrow \frac{x-2}{x+2} - 5 \leq 0 \Rightarrow \frac{x-2-5(x+2)}{x+2} \leq 0 \Rightarrow \frac{-4x-12}{x+2} \leq 0 \Rightarrow \frac{-4(x+3)}{x+2} \leq 0$
Разделим на $-4$ и сменим знак неравенства: $\frac{x+3}{x+2} \geq 0$.
Методом интервалов (нули: $x=-3, x=-2$) получаем: $x \in (-\infty, -3] \cup (-2, \infty)$.
Область определения исходного неравенства: $x < -2$.
Находим пересечение решения второго неравенства с ОДЗ: $(x \in (-\infty, -3] \cup (-2, \infty)) \cap (x < -2)$.
Пересечением является $x \leq -3$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3]$.

4) Исходное неравенство: $log_{2.5}(log_3(9^x - 6)) \geq 0$.
Так как основание внешнего логарифма $2.5 > 1$, знак неравенства не меняется:
$log_3(9^x - 6) \geq (2.5)^0$
$log_3(9^x - 6) \geq 1$
Решаем полученное неравенство. Основание $3 > 1$, знак не меняется:
$9^x - 6 \geq 3^1$
$9^x - 6 \geq 3$
$9^x \geq 9$
$9^x \geq 9^1$
Так как основание степени $9 > 1$, переходим к неравенству для показателей:
$x \geq 1$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы всех логарифмов должны быть положительны:
1) $9^x - 6 > 0 \Rightarrow 9^x > 6 \Rightarrow x > log_9 6$.
2) $log_3(9^x - 6) > 0 \Rightarrow 9^x - 6 > 3^0 \Rightarrow 9^x - 6 > 1 \Rightarrow 9^x > 7 \Rightarrow x > log_9 7$.
Второе условие ($x > log_9 7$) является более строгим и определяет ОДЗ.
Теперь необходимо совместить решение $x \geq 1$ с ОДЗ $x > log_9 7$. Сравним $1$ и $log_9 7$.
Представим $1$ как $log_9 9$. Поскольку функция $y = log_9 t$ возрастающая (основание $9>1$), из $9 > 7$ следует, что $log_9 9 > log_9 7$, то есть $1 > log_9 7$.
Решение $x \geq 1$ удовлетворяет ОДЗ ($x > log_9 7$), так как любое число, большее или равное $1$, также больше $log_9 7$.
Таким образом, окончательное решение совпадает с решением неравенства.
Ответ: $x \in [1; +\infty)$.