Номер 313, страница 151 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Решим неравенство $log_2(2x - 1) > log_2(x + 1)$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными:
$\begin{cases} 2x - 1 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 2x > 1 \\ x > -1 \end{cases}$
$\begin{cases} x > \frac{1}{2} \\ x > -1 \end{cases}$
Из системы следует, что ОДЗ: $x > \frac{1}{2}$.
Теперь решим само неравенство. Так как основание логарифма $2 > 1$, то функция $y = log_2(t)$ является возрастающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:
$2x - 1 > x + 1$
$2x - x > 1 + 1$
$x > 2$
Совместим полученное решение с ОДЗ:
$\begin{cases} x > 2 \\ x > \frac{1}{2} \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x > 2$.
Ответ: $(2; +\infty)$

2) Решим неравенство $log_5(3x + 1) > log_5(x - 2)$.
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 3x + 1 > 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 3x > -1 \\ x > 2 \end{cases}$
$\begin{cases} x > -\frac{1}{3} \\ x > 2 \end{cases}$
ОДЗ: $x > 2$.
Основание логарифма $5 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:
$3x + 1 > x - 2$
$3x - x > -2 - 1$
$2x > -3$
$x > -\frac{3}{2}$
Совместим решение с ОДЗ:
$\begin{cases} x > 2 \\ x > -\frac{3}{2} \end{cases}$
Пересечением является $x > 2$.
Ответ: $(2; +\infty)$

3) Решим неравенство $log_{\frac{1}{7}}(12 - x) \ge -2$.
Найдем ОДЗ:
$12 - x > 0$
$x < 12$
Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием $\frac{1}{7}$:
$-2 = -2 \cdot log_{\frac{1}{7}}(\frac{1}{7}) = log_{\frac{1}{7}}((\frac{1}{7})^{-2}) = log_{\frac{1}{7}}(7^2) = log_{\frac{1}{7}}(49)$.
Неравенство принимает вид:
$log_{\frac{1}{7}}(12 - x) \ge log_{\frac{1}{7}}(49)$
Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{7} < 1$, то функция $y = log_{\frac{1}{7}}(t)$ является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$12 - x \le 49$
$-x \le 49 - 12$
$-x \le 37$
$x \ge -37$
Совместим полученное решение с ОДЗ:
$\begin{cases} x \ge -37 \\ x < 12 \end{cases}$
Получаем интервал $-37 \le x < 12$.
Ответ: $[-37; 12)$

4) Решим неравенство $log_{0,2}(x - 2) > log_{0,2}(3 - x)$.
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ 3 - x > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x > 2 \\ x < 3 \end{cases}$
ОДЗ: $2 < x < 3$.
Основание логарифма $0,2$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому функция является убывающей, и знак неравенства меняется на противоположный:
$x - 2 < 3 - x$
$x + x < 3 + 2$
$2x < 5$
$x < 2,5$
Совместим решение с ОДЗ:
$\begin{cases} 2 < x < 3 \\ x < 2,5 \end{cases}$
Пересечением является $2 < x < 2,5$.
Ответ: $(2; 2,5)$