Вопросы, страница 151 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. При решении логарифмических неравенств основное внимание следует уделять двум ключевым аспектам:

Во-первых, это область допустимых значений (ОДЗ) логарифмической функции. Выражение под знаком логарифма всегда должно быть строго положительным. То есть для логарифма вида $\log_a{f(x)}$, необходимо выполнение условия $f(x) > 0$. Также основание логарифма $a$ должно быть положительным и не равным единице ($a > 0, a \neq 1$).

Во-вторых, это основание логарифма $a$. От величины основания зависит, является ли логарифмическая функция возрастающей или убывающей, что напрямую влияет на знак неравенства при переходе от логарифмов к их аргументам (потенцировании):

• Если основание $a > 1$, то логарифмическая функция $y = \log_a{x}$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поэтому при переходе от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов знак неравенства сохраняется. Например, $\log_a{f(x)} > \log_a{g(x)} \Leftrightarrow f(x) > g(x)$.

• Если основание $0 < a < 1$, то логарифмическая функция $y = \log_a{x}$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Поэтому при переходе от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов знак неравенства меняется на противоположный. Например, $\log_a{f(x)} > \log_a{g(x)} \Leftrightarrow f(x) < g(x)$.

Игнорирование любого из этих аспектов, особенно ОДЗ, является частой причиной ошибок.

Ответ: При решении логарифмических неравенств главное внимание уделяется области допустимых значений (выражение под логарифмом должно быть положительным) и величине основания логарифма, от которой зависит, сохраняется или изменяется знак неравенства при переходе к выражениям под логарифмами.

2. Решение логарифмического неравенства часто сводится к рассмотрению системы неравенств, потому что для нахождения правильного решения необходимо одновременное выполнение нескольких условий.

Эти условия включают в себя:

1.Условие, вытекающее из самого неравенства. После преобразования исходного логарифмического неравенства мы переходим к неравенству для выражений, стоящих под знаком логарифма. Как было упомянуто в предыдущем пункте, знак этого нового неравенства зависит от основания логарифма.

2.Условия, определяющие область допустимых значений (ОДЗ). Каждое выражение под знаком логарифма в исходном неравенстве должно быть строго больше нуля. Это порождает одно или несколько дополнительных неравенств.

Поскольку все эти условия должны выполняться одновременно, их объединяют в систему неравенств. Решением исходного логарифмического неравенства будет пересечение решений всех неравенств, входящих в систему.

Например, решение неравенства $\log_a{f(x)} > \log_a{g(x)}$ равносильно решению одной из двух систем, в зависимости от основания $a$:

При $a > 1$:

$$\begin{cases}f(x) > g(x) \\g(x) > 0\end{cases}$$

(Условие $f(x) > 0$ здесь выполняется автоматически, так как из $f(x) > g(x)$ и $g(x) > 0$ следует $f(x) > 0$).

При $0 < a < 1$:

$$\begin{cases}f(x) < g(x) \\f(x) > 0\end{cases}$$

(Условие $g(x) > 0$ здесь выполняется автоматически, так как из $f(x) < g(x)$ и $f(x) > 0$ следует $g(x) > 0$).

Таким образом, необходимость учёта ОДЗ наряду с основным неравенством и приводит к необходимости решать систему неравенств.

Ответ: Решение логарифмического неравенства приводит к системе неравенств, так как необходимо одновременно удовлетворить как условию, полученному из сравнения аргументов логарифмов (с учётом монотонности функции), так и условиям области допустимых значений (аргументы всех логарифмов должны быть положительными).