Вопросы, страница 151 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Логарифмдік теңсіздікті шешу үшін басты назар неге аударылады?

2. Неге көп жағдайда логарифмдік теңсіздікті шешу теңсіздіктер жүйесін қарастыруға әкеледі?

1. При решении логарифмических неравенств основное внимание следует уделять двум ключевым аспектам:

Во-первых, это область допустимых значений (ОДЗ) логарифмической функции. Выражение под знаком логарифма всегда должно быть строго положительным. То есть для логарифма вида $\log_a{f(x)}$, необходимо выполнение условия $f(x) > 0$. Также основание логарифма $a$ должно быть положительным и не равным единице ($a > 0, a \neq 1$).

Во-вторых, это основание логарифма $a$. От величины основания зависит, является ли логарифмическая функция возрастающей или убывающей, что напрямую влияет на знак неравенства при переходе от логарифмов к их аргументам (потенцировании):

• Если основание $a > 1$, то логарифмическая функция $y = \log_a{x}$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поэтому при переходе от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов знак неравенства сохраняется. Например, $\log_a{f(x)} > \log_a{g(x)} \Leftrightarrow f(x) > g(x)$.

• Если основание $0 < a < 1$, то логарифмическая функция $y = \log_a{x}$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Поэтому при переходе от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов знак неравенства меняется на противоположный. Например, $\log_a{f(x)} > \log_a{g(x)} \Leftrightarrow f(x) < g(x)$.

Игнорирование любого из этих аспектов, особенно ОДЗ, является частой причиной ошибок.

Ответ: При решении логарифмических неравенств главное внимание уделяется области допустимых значений (выражение под логарифмом должно быть положительным) и величине основания логарифма, от которой зависит, сохраняется или изменяется знак неравенства при переходе к выражениям под логарифмами.

2. Решение логарифмического неравенства часто сводится к рассмотрению системы неравенств, потому что для нахождения правильного решения необходимо одновременное выполнение нескольких условий.

Эти условия включают в себя:

1.Условие, вытекающее из самого неравенства. После преобразования исходного логарифмического неравенства мы переходим к неравенству для выражений, стоящих под знаком логарифма. Как было упомянуто в предыдущем пункте, знак этого нового неравенства зависит от основания логарифма.

2.Условия, определяющие область допустимых значений (ОДЗ). Каждое выражение под знаком логарифма в исходном неравенстве должно быть строго больше нуля. Это порождает одно или несколько дополнительных неравенств.

Поскольку все эти условия должны выполняться одновременно, их объединяют в систему неравенств. Решением исходного логарифмического неравенства будет пересечение решений всех неравенств, входящих в систему.

Например, решение неравенства $\log_a{f(x)} > \log_a{g(x)}$ равносильно решению одной из двух систем, в зависимости от основания $a$:

При $a > 1$:

$$\begin{cases}f(x) > g(x) \\g(x) > 0\end{cases}$$

(Условие $f(x) > 0$ здесь выполняется автоматически, так как из $f(x) > g(x)$ и $g(x) > 0$ следует $f(x) > 0$).

При $0 < a < 1$:

$$\begin{cases}f(x) < g(x) \\f(x) > 0\end{cases}$$

(Условие $g(x) > 0$ здесь выполняется автоматически, так как из $f(x) < g(x)$ и $f(x) > 0$ следует $g(x) > 0$).

Таким образом, необходимость учёта ОДЗ наряду с основным неравенством и приводит к необходимости решать систему неравенств.

Ответ: Решение логарифмического неравенства приводит к системе неравенств, так как необходимо одновременно удовлетворить как условию, полученному из сравнения аргументов логарифмов (с учётом монотонности функции), так и условиям области допустимых значений (аргументы всех логарифмов должны быть положительными).