Номер 304, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 10^{2-\lg(x-y)} = 25, \\ \lg(x-y) + \lg(x+y) = 1 + 2\lg 2 \end{cases} $$ Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями положительности аргументов логарифмов: $x-y > 0$ и $x+y > 0$.

Преобразуем первое уравнение. Используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и основное логарифмическое тождество $10^{\lg(a)} = a$, получаем:
$10^{2-\lg(x-y)} = \frac{10^2}{10^{\lg(x-y)}} = \frac{100}{x-y}$.
Таким образом, уравнение принимает вид:
$\frac{100}{x-y} = 25$.
Отсюда находим, что $x-y = \frac{100}{25} = 4$.

Преобразуем второе уравнение. Используя свойства логарифмов $\lg a + \lg b = \lg(ab)$, $n\lg a = \lg(a^n)$ и учитывая, что $1 = \lg 10$, получаем:
Левая часть: $\lg(x-y) + \lg(x+y) = \lg((x-y)(x+y))$.
Правая часть: $1 + 2\lg 2 = \lg 10 + \lg(2^2) = \lg 10 + \lg 4 = \lg(10 \cdot 4) = \lg 40$.
Приравнивая левую и правую части, получаем:
$\lg((x-y)(x+y)) = \lg 40$,
что равносильно $(x-y)(x+y) = 40$.

Мы получили систему из двух более простых уравнений: $$ \begin{cases} x-y = 4 \\ (x-y)(x+y) = 40 \end{cases} $$ Подставим значение $x-y$ из первого уравнения во второе:
$4(x+y) = 40$,
откуда $x+y = 10$.

Теперь решаем систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} x-y = 4 \\ x+y = 10 \end{cases} $$ Сложив два уравнения, получим: $2x = 14$, следовательно, $x=7$.
Подставив $x=7$ в уравнение $x+y=10$, найдем $y$: $7 + y = 10$, следовательно, $y=3$.
Проверим, удовлетворяет ли решение ОДЗ: $x-y = 7-3 = 4 > 0$ и $x+y = 7+3 = 10 > 0$. Условия выполнены.

Ответ: $(7; 3)$.

2)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 10^{1+\lg(x+y)} = 50, \\ \lg(x-y) + \lg(x+y) = 2 - \lg 5 \end{cases} $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x-y > 0$ и $x+y > 0$.

Преобразуем первое уравнение. Используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основное логарифмическое тождество $10^{\lg a} = a$, получаем:
$10^{1+\lg(x+y)} = 10^1 \cdot 10^{\lg(x+y)} = 10(x+y)$.
Уравнение принимает вид:
$10(x+y) = 50$,
откуда $x+y = \frac{50}{10} = 5$.

Преобразуем второе уравнение. Используя свойства логарифмов $\lg a + \lg b = \lg(ab)$, $\lg a - \lg b = \lg(a/b)$ и учитывая, что $2 = \lg(10^2) = \lg 100$, получаем:
Левая часть: $\lg(x-y) + \lg(x+y) = \lg((x-y)(x+y))$.
Правая часть: $2 - \lg 5 = \lg 100 - \lg 5 = \lg(\frac{100}{5}) = \lg 20$.
Приравнивая части, получаем:
$\lg((x-y)(x+y)) = \lg 20$,
что равносильно $(x-y)(x+y) = 20$.

Мы получили новую систему уравнений: $$ \begin{cases} x+y = 5 \\ (x-y)(x+y) = 20 \end{cases} $$ Подставим значение $x+y$ из первого уравнения во второе:
$(x-y) \cdot 5 = 20$,
откуда $x-y = 4$.

Теперь решаем систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} x+y = 5 \\ x-y = 4 \end{cases} $$ Сложив два уравнения, получим: $2x = 9$, следовательно, $x=4.5$.
Подставив $x=4.5$ в уравнение $x+y=5$, найдем $y$: $4.5 + y = 5$, следовательно, $y=0.5$.
Проверим ОДЗ: $x-y = 4.5 - 0.5 = 4 > 0$ и $x+y = 4.5 + 0.5 = 5 > 0$. Условия выполнены.

Ответ: $(4.5; 0.5)$.