Номер 303, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

303. 1) Решим второе уравнение системы $\log_{\sqrt{2}}(y - x) = 4$. По определению логарифма, это уравнение эквивалентно следующему:

$y - x = (\sqrt{2})^4$

Так как $(\sqrt{2})^4 = (2^{1/2})^4 = 2^{4/2} = 2^2 = 4$, мы получаем линейное соотношение:

$y - x = 4$, откуда $y = x + 4$.

Теперь рассмотрим первое уравнение системы: $3^x \cdot 2^y = 576$.

Разложим число 576 на простые множители:

$576 = 2 \cdot 288 = 2^2 \cdot 144 = 2^2 \cdot 12^2 = 2^2 \cdot (3 \cdot 4)^2 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot (2^2)^2 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 2^4 = 3^2 \cdot 2^6$.

Таким образом, первое уравнение можно переписать в виде:

$3^x \cdot 2^y = 3^2 \cdot 2^6$.

Подставим в это уравнение ранее найденное выражение для $y$:

$3^x \cdot 2^{x+4} = 3^2 \cdot 2^6$

Применим свойства степеней:

$3^x \cdot 2^x \cdot 2^4 = 3^2 \cdot 2^6$

$(3 \cdot 2)^x \cdot 16 = 9 \cdot 64$

$6^x \cdot 16 = 576$

$6^x = \frac{576}{16} = 36$

Поскольку $36 = 6^2$, имеем $6^x = 6^2$, откуда следует, что $x=2$.

Теперь найдем $y$:

$y = x + 4 = 2 + 4 = 6$.

Проверим условие области определения логарифма $y - x > 0$.

$6 - 2 = 4 > 0$. Условие выполнено.

Ответ: $(2, 6)$.

2) Решим второе уравнение системы $\log_{\sqrt{3}}(x - y) = 2$. По определению логарифма, получаем:

$x - y = (\sqrt{3})^2$

$x - y = 3$, откуда $x = y + 3$.

Теперь рассмотрим первое уравнение системы: $3^x \cdot 2^y = 972$.

Разложим число 972 на простые множители:

$972 = 2 \cdot 486 = 2^2 \cdot 243 = 2^2 \cdot 3^5$.

Таким образом, первое уравнение можно переписать в виде:

$3^x \cdot 2^y = 3^5 \cdot 2^2$.

Подставим в это уравнение ранее найденное выражение для $x$:

$3^{y+3} \cdot 2^y = 3^5 \cdot 2^2$

Применим свойства степеней:

$3^y \cdot 3^3 \cdot 2^y = 3^5 \cdot 2^2$

$(3 \cdot 2)^y \cdot 27 = 243 \cdot 4$

$6^y \cdot 27 = 972$

$6^y = \frac{972}{27} = 36$

Поскольку $36 = 6^2$, имеем $6^y = 6^2$, откуда следует, что $y=2$.

Теперь найдем $x$:

$x = y + 3 = 2 + 3 = 5$.

Проверим условие области определения логарифма $x - y > 0$.

$5 - 2 = 3 > 0$. Условие выполнено.

Ответ: $(5, 2)$.