Номер 296, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Исходная система уравнений:
$\begin{cases} \log_2(x+y) = 3 \\ \log_{15}x = 1 - \log_{15}y \end{cases}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Из выражений под логарифмами следует, что $x+y > 0$, $x > 0$ и $y > 0$. Условия $x > 0$ и $y > 0$ автоматически обеспечивают выполнение условия $x+y > 0$. Таким образом, ОДЗ: $x > 0, y > 0$.

Преобразуем первое уравнение системы, используя определение логарифма:
$\log_2(x+y) = 3 \implies x+y = 2^3 \implies x+y = 8$.

Преобразуем второе уравнение системы. Перенесем $\log_{15}y$ в левую часть и используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:
$\log_{15}x + \log_{15}y = 1$
$\log_{15}(xy) = 1$
По определению логарифма:
$xy = 15^1 \implies xy = 15$.

В результате мы получили систему алгебраических уравнений:
$\begin{cases} x+y = 8 \\ xy = 15 \end{cases}$

Эту систему можно решить методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$: $y = 8 - x$. Подставим это выражение во второе уравнение:
$x(8-x) = 15$
$8x - x^2 = 15$
$x^2 - 8x + 15 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения $x_1$ и $x_2$ удовлетворяют условиям $x_1 + x_2 = 8$ и $x_1 \cdot x_2 = 15$. Легко подобрать корни: $x_1 = 3$, $x_2 = 5$.

Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 3$, то $y_1 = 8 - 3 = 5$.
Если $x_2 = 5$, то $y_2 = 8 - 5 = 3$.

Оба решения, (3; 5) и (5; 3), удовлетворяют ОДЗ ($x>0, y>0$).

Ответ: (3; 5), (5; 3).

2)

Исходная система уравнений:
$\begin{cases} \log_3(xy) = 2 + \log_3 2 \\ \log_3(x+y) = 2 \end{cases}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Из выражений под логарифмами следует, что $xy > 0$ и $x+y > 0$. Из $xy > 0$ следует, что $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки. Если бы они были оба отрицательными, то их сумма $x+y$ была бы отрицательной, что противоречит условию $x+y > 0$. Следовательно, $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение. Представим $2$ как логарифм по основанию 3: $2 = \log_3(3^2) = \log_3 9$.
$\log_3(xy) = \log_3 9 + \log_3 2$
Используя свойство суммы логарифмов:
$\log_3(xy) = \log_3(9 \cdot 2)$
$\log_3(xy) = \log_3(18)$
Отсюда получаем $xy = 18$.

Преобразуем второе уравнение по определению логарифма:
$\log_3(x+y) = 2 \implies x+y = 3^2 \implies x+y = 9$.

В результате мы получили систему алгебраических уравнений:
$\begin{cases} x+y = 9 \\ xy = 18 \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения $y = 9 - x$. Подставим во второе уравнение:
$x(9-x) = 18$
$9x - x^2 = 18$
$x^2 - 9x + 18 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения $x_1$ и $x_2$ удовлетворяют условиям $x_1 + x_2 = 9$ и $x_1 \cdot x_2 = 18$. Корни легко находятся: $x_1 = 3$, $x_2 = 6$.

Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 3$, то $y_1 = 9 - 3 = 6$.
Если $x_2 = 6$, то $y_2 = 9 - 6 = 3$.

Оба решения, (3; 6) и (6; 3), удовлетворяют ОДЗ ($x>0, y>0$).

Ответ: (3; 6), (6; 3).