Номер 291, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дано логарифмическое уравнение $\log_3(2x - 1) = 2$.

Согласно определению логарифма, выражение $\log_b a = c$ эквивалентно $a = b^c$. Применим это правило к нашему уравнению, где основание $b=3$, аргумент $a=2x-1$, а значение логарифма $c=2$.

$2x - 1 = 3^2$

$2x - 1 = 9$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$.

$2x = 9 + 1$

$2x = 10$

$x = 10 / 2$

$x = 5$

Необходимо также учесть область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.

$2x - 1 > 0$

$2x > 1$

$x > 1/2$

Поскольку найденное значение $x=5$ удовлетворяет условию $x > 1/2$, оно является корнем уравнения.

Ответ: 5

2) Дано уравнение $\ln(3x - 5) = 0$.

Натуральный логарифм ($\ln$) — это логарифм по основанию $e$. Уравнение можно записать как $\log_e(3x - 5) = 0$.

Используя определение логарифма, получаем:

$3x - 5 = e^0$

Любое число в степени 0 равно 1, поэтому $e^0 = 1$.

$3x - 5 = 1$

Решаем полученное линейное уравнение:

$3x = 1 + 5$

$3x = 6$

$x = 6 / 3$

$x = 2$

Проверим ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положительным:

$3x - 5 > 0$

$3x > 5$

$x > 5/3$

Значение $x = 2$ удовлетворяет условию $x > 5/3$ (так как $2 > 1.66...$), следовательно, является корнем.

Ответ: 2

3) Дано уравнение $\log_7(4 - x) = 1$.

По определению логарифма, $\log_b a = c$ равносильно $a = b^c$.

Применяем это определение к нашему уравнению:

$4 - x = 7^1$

$4 - x = 7$

Решаем полученное уравнение:

$-x = 7 - 4$

$-x = 3$

$x = -3$

Проверим ОДЗ, чтобы убедиться, что аргумент логарифма положителен:

$4 - x > 0$

$4 > x$

$x < 4$

Найденный корень $x = -3$ удовлетворяет условию $x < 4$, поэтому он является решением.

Ответ: -3

4) Дано уравнение $\lg(2x - 1) = \lg 3$.

Десятичный логарифм ($\lg$) — это логарифм по основанию 10. Уравнение имеет вид $\log_b f(x) = \log_b c$. Поскольку логарифмическая функция является монотонной, если равны логарифмы по одному и тому же основанию, то равны и их аргументы.

Приравниваем аргументы логарифмов:

$2x - 1 = 3$

Решаем полученное линейное уравнение:

$2x = 3 + 1$

$2x = 4$

$x = 4 / 2$

$x = 2$

Проверим ОДЗ. Аргументы всех логарифмов в исходном уравнении должны быть положительными.

Аргумент левой части: $2x - 1 > 0 \implies 2x > 1 \implies x > 1/2$.

Аргумент правой части: $3 > 0$, что верно.

Найденное значение $x = 2$ удовлетворяет ОДЗ ($2 > 1/2$), следовательно, является корнем уравнения.

Ответ: 2