Номер 295, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

295. 1)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}x^2 + y^2 = 80, \\\log_2 x + \log_2 y = 5\end{cases}$$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется вторым уравнением: аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля, то есть $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем второе уравнение системы, используя свойство суммы логарифмов $\log_a M + \log_a N = \log_a (MN)$:

$\log_2(xy) = 5$

Далее, по определению логарифма, получаем:

$xy = 2^5 = 32$

Таким образом, исходная система эквивалентна следующей системе:

$$\begin{cases}x^2 + y^2 = 80 \\xy = 32\end{cases}$$

Для решения этой симметричной системы воспользуемся тождеством $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$. Подставим в него известные значения из системы:

$(x+y)^2 = 80 + 2 \cdot 32 = 80 + 64 = 144$

Извлекая квадратный корень, находим $x+y = \pm 12$. Так как из ОДЗ мы знаем, что $x>0$ и $y>0$, их сумма также должна быть положительной. Следовательно, мы выбираем $x+y = 12$.

Теперь задача сводится к решению системы:

$$\begin{cases}x+y = 12 \\xy = 32\end{cases}$$

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставляем наши значения:

$t^2 - 12t + 32 = 0$

Корни этого уравнения можно найти подбором: $t_1 = 4$, $t_2 = 8$ (так как $4+8=12$ и $4 \cdot 8=32$).

Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(4, 8)$ и $(8, 4)$. Обе пары удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(4, 8), (8, 4)$.

2)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}\lg x + \lg y = \lg 2, \\x^2 + y^2 = 5\end{cases}$$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этой системы: $x > 0$ и $y > 0$.

Упростим первое уравнение, используя свойство суммы логарифмов ($\lg$ это $\log_{10}$):

$\lg(xy) = \lg 2$

Поскольку логарифмическая функция с основанием 10 является монотонно возрастающей, равенство логарифмов означает равенство их аргументов:

$xy = 2$

Теперь система уравнений имеет более простой вид:

$$\begin{cases}x^2 + y^2 = 5 \\xy = 2\end{cases}$$

Применим тождество для квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$:

$(x+y)^2 = 5 + 2 \cdot 2 = 9$

Отсюда $x+y = \pm 3$. Учитывая ОДЗ ($x>0, y>0$), заключаем, что $x+y$ должно быть положительным. Таким образом, $x+y = 3$.

Мы получили систему:

$$\begin{cases}x+y = 3 \\xy = 2\end{cases}$$

По обратной теореме Виета, $x$ и $y$ — это корни квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$:

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Корни этого уравнения легко находятся: $t_1 = 1$, $t_2 = 2$ (так как $1+2=3$ и $1 \cdot 2=2$).

Следовательно, решениями системы являются пары $(1, 2)$ и $(2, 1)$. Обе пары удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(1, 2), (2, 1)$.