Номер 299, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Исходное уравнение: $lg \sqrt{3x + 1} + lg \sqrt{x + 4} = lg12$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент десятичного логарифма должен быть строго положительным. Так как под логарифмом стоит корень, подкоренное выражение должно быть больше нуля.
1. $3x + 1 > 0 \implies 3x > -1 \implies x > -1/3$
2. $x + 4 > 0 \implies x > -4$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > -1/3$.

Воспользуемся свойством суммы логарифмов: $log_a b + log_a c = log_a(bc)$.
$lg (\sqrt{3x + 1} \cdot \sqrt{x + 4}) = lg12$
$lg \sqrt{(3x + 1)(x + 4)} = lg12$
Поскольку основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:
$\sqrt{(3x + 1)(x + 4)} = 12$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(3x + 1)(x + 4) = 144$
Раскроем скобки:
$3x^2 + 12x + x + 4 = 144$
$3x^2 + 13x - 140 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-140) = 169 + 1680 = 1849$
$\sqrt{D} = \sqrt{1849} = 43$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + 43}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - 43}{2 \cdot 3} = \frac{-56}{6} = -\frac{28}{3}$

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > -1/3$):
$x_1 = 5$: $5 > -1/3$, следовательно, корень подходит.
$x_2 = -28/3 \approx -9.33$: $-28/3 < -1/3$, следовательно, это посторонний корень.
Ответ: $5$.

2) Исходное уравнение: $lg(x - 2) - lg \sqrt{x - 4} = lg3$.
Найдем ОДЗ:
1. $x - 2 > 0 \implies x > 2$
2. $\sqrt{x-4}$ должно быть определено и $>0$, значит $x - 4 > 0 \implies x > 4$
ОДЗ: $x > 4$.

Воспользуемся свойством разности логарифмов: $log_a b - log_a c = log_a(b/c)$.
$lg \frac{x - 2}{\sqrt{x - 4}} = lg3$
Приравниваем аргументы:
$\frac{x - 2}{\sqrt{x - 4}} = 3$
$x - 2 = 3\sqrt{x - 4}$
Для $x > 4$ левая часть $x-2$ положительна. Возведем обе части в квадрат:
$(x - 2)^2 = (3\sqrt{x - 4})^2$
$x^2 - 4x + 4 = 9(x - 4)$
$x^2 - 4x + 4 = 9x - 36$
$x^2 - 13x + 40 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 13, а их произведение равно 40. Легко подобрать корни:
$x_1 = 5$, $x_2 = 8$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 4$):
$x_1 = 5$: $5 > 4$, корень подходит.
$x_2 = 8$: $8 > 4$, корень подходит.
Ответ: $5; 8$.

3) Исходное уравнение: $(x^2 - 4) \log_3 (1 - x^2 - 3x) = 0$.
Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$1 - x^2 - 3x > 0$
$x^2 + 3x - 1 < 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 3x - 1 = 0$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$
$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$
Парабола $y = x^2 + 3x - 1$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $x^2 + 3x - 1 < 0$ выполняется между корнями.
ОДЗ: $x \in (\frac{-3 - \sqrt{13}}{2}; \frac{-3 + \sqrt{13}}{2})$.
Приблизительно: $\sqrt{13} \approx 3.6$, поэтому ОДЗ примерно $x \in (-3.3; 0.3)$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другой при этом определен.
Случай 1: $x^2 - 4 = 0$
$x^2 = 4 \implies x_1 = 2, x_2 = -2$.
Случай 2: $\log_3(1 - x^2 - 3x) = 0$
$1 - x^2 - 3x = 3^0$
$1 - x^2 - 3x = 1$
$-x^2 - 3x = 0$
$-x(x + 3) = 0 \implies x_3 = 0, x_4 = -3$.

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ $x \in (\frac{-3 - \sqrt{13}}{2}; \frac{-3 + \sqrt{13}}{2})$:
$x_1 = 2$. Не принадлежит ОДЗ, так как $2 > \frac{-3 + \sqrt{13}}{2} \approx 0.3$. Посторонний корень.
$x_2 = -2$. Принадлежит ОДЗ, так как $\frac{-3 - \sqrt{13}}{2} \approx -3.3$, и $-3.3 < -2 < 0.3$. Корень подходит.
$x_3 = 0$. Принадлежит ОДЗ. Корень подходит.
$x_4 = -3$. Принадлежит ОДЗ. Корень подходит.
Ответ: $-3; -2; 0$.

4) Исходное уравнение: $(x^2 - x - 2) \log_2 (x^2 - 4x + 4) = 0$.
Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x^2 - 4x + 4 > 0$
$(x - 2)^2 > 0$
Квадрат любого числа, кроме нуля, положителен. Значит, неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x = 2$.
ОДЗ: $x \neq 2$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
Случай 1: $x^2 - x - 2 = 0$
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -2$.
Корни: $x_1 = 2, x_2 = -1$.
Случай 2: $\log_2(x^2 - 4x + 4) = 0$
$x^2 - 4x + 4 = 2^0$
$x^2 - 4x + 4 = 1$
$x^2 - 4x + 3 = 0$
По теореме Виета: $x_3 + x_4 = 4$, $x_3 \cdot x_4 = 3$.
Корни: $x_3 = 1, x_4 = 3$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 2$):
$x_1 = 2$: не удовлетворяет ОДЗ. Посторонний корень.
$x_2 = -1$: удовлетворяет ОДЗ. Корень подходит.
$x_3 = 1$: удовлетворяет ОДЗ. Корень подходит.
$x_4 = 3$: удовлетворяет ОДЗ. Корень подходит.
Ответ: $-1; 1; 3$.