Страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

298. 1) $log_3 \sqrt{2x+1} = 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$\sqrt{2x+1} > 0$

Возведем обе части в квадрат:

$2x+1 > 0$

$2x > -1$

$x > -0.5$

Теперь решим уравнение, используя определение логарифма ($log_a b = c \iff b = a^c$):

$\sqrt{2x+1} = 3^1$

$\sqrt{2x+1} = 3$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{2x+1})^2 = 3^2$

$2x+1 = 9$

$2x = 8$

$x = 4$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=4$ условию ОДЗ ($x > -0.5$).

Так как $4 > -0.5$, корень является решением уравнения.

Ответ: $x=4$

2) $log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2x-2} = -2$

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$\sqrt[3]{2x-2} > 0$

Так как корень нечетной степени, знак выражения под корнем совпадает со знаком самого корня. Следовательно:

$2x-2 > 0$

$2x > 2$

$x > 1$

Решим уравнение по определению логарифма:

$\sqrt[3]{2x-2} = (\frac{1}{2})^{-2}$

$\sqrt[3]{2x-2} = (2^{-1})^{-2} = 2^2 = 4$

Возведем обе части уравнения в куб:

$(\sqrt[3]{2x-2})^3 = 4^3$

$2x-2 = 64$

$2x = 66$

$x = 33$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=33$ условию ОДЗ ($x > 1$).

Так как $33 > 1$, корень является решением уравнения.

Ответ: $x=33$

3) $log_{\frac{3}{5}} \frac{2x+3}{x-2} = 1$

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$\frac{2x+3}{x-2} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

$2x+3 = 0 \implies x = -1.5$

$x-2 = 0 \implies x = 2$

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, -1.5)$, $(-1.5, 2)$ и $(2, +\infty)$. Определим знак дроби в каждом интервале. Дробь положительна, когда $x \in (-\infty, -1.5) \cup (2, +\infty)$. Это и есть ОДЗ.

Решим уравнение по определению логарифма:

$\frac{2x+3}{x-2} = (\frac{3}{5})^1$

$\frac{2x+3}{x-2} = \frac{3}{5}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$5(2x+3) = 3(x-2)$

$10x + 15 = 3x - 6$

$10x - 3x = -6 - 15$

$7x = -21$

$x = -3$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=-3$ условию ОДЗ ($x \in (-\infty, -1.5) \cup (2, +\infty)$).

Так как $-3$ принадлежит интервалу $(-\infty, -1.5)$, корень является решением уравнения.

Ответ: $x=-3$

4) $log_{\sqrt{3}} \frac{1}{3x-5} = 0$

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$\frac{1}{3x-5} > 0$

Так как числитель дроби (1) положителен, для выполнения неравенства необходимо, чтобы и знаменатель был положителен:

$3x-5 > 0$

$3x > 5$

$x > \frac{5}{3}$

Решим уравнение по определению логарифма:

$\frac{1}{3x-5} = (\sqrt{3})^0$

Любое ненулевое число в степени 0 равно 1, поэтому:

$\frac{1}{3x-5} = 1$

$1 = 3x-5$

$6 = 3x$

$x = 2$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=2$ условию ОДЗ ($x > \frac{5}{3}$).

Так как $2 > \frac{5}{3}$ (поскольку $2 = \frac{6}{3}$), корень является решением уравнения.

Ответ: $x=2$

1) Исходное уравнение: $lg \sqrt{3x + 1} + lg \sqrt{x + 4} = lg12$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент десятичного логарифма должен быть строго положительным. Так как под логарифмом стоит корень, подкоренное выражение должно быть больше нуля.
1. $3x + 1 > 0 \implies 3x > -1 \implies x > -1/3$
2. $x + 4 > 0 \implies x > -4$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > -1/3$.

Воспользуемся свойством суммы логарифмов: $log_a b + log_a c = log_a(bc)$.
$lg (\sqrt{3x + 1} \cdot \sqrt{x + 4}) = lg12$
$lg \sqrt{(3x + 1)(x + 4)} = lg12$
Поскольку основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:
$\sqrt{(3x + 1)(x + 4)} = 12$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(3x + 1)(x + 4) = 144$
Раскроем скобки:
$3x^2 + 12x + x + 4 = 144$
$3x^2 + 13x - 140 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-140) = 169 + 1680 = 1849$
$\sqrt{D} = \sqrt{1849} = 43$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + 43}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - 43}{2 \cdot 3} = \frac{-56}{6} = -\frac{28}{3}$

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > -1/3$):
$x_1 = 5$: $5 > -1/3$, следовательно, корень подходит.
$x_2 = -28/3 \approx -9.33$: $-28/3 < -1/3$, следовательно, это посторонний корень.
Ответ: $5$.

2) Исходное уравнение: $lg(x - 2) - lg \sqrt{x - 4} = lg3$.
Найдем ОДЗ:
1. $x - 2 > 0 \implies x > 2$
2. $\sqrt{x-4}$ должно быть определено и $>0$, значит $x - 4 > 0 \implies x > 4$
ОДЗ: $x > 4$.

Воспользуемся свойством разности логарифмов: $log_a b - log_a c = log_a(b/c)$.
$lg \frac{x - 2}{\sqrt{x - 4}} = lg3$
Приравниваем аргументы:
$\frac{x - 2}{\sqrt{x - 4}} = 3$
$x - 2 = 3\sqrt{x - 4}$
Для $x > 4$ левая часть $x-2$ положительна. Возведем обе части в квадрат:
$(x - 2)^2 = (3\sqrt{x - 4})^2$
$x^2 - 4x + 4 = 9(x - 4)$
$x^2 - 4x + 4 = 9x - 36$
$x^2 - 13x + 40 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 13, а их произведение равно 40. Легко подобрать корни:
$x_1 = 5$, $x_2 = 8$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 4$):
$x_1 = 5$: $5 > 4$, корень подходит.
$x_2 = 8$: $8 > 4$, корень подходит.
Ответ: $5; 8$.

3) Исходное уравнение: $(x^2 - 4) \log_3 (1 - x^2 - 3x) = 0$.
Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$1 - x^2 - 3x > 0$
$x^2 + 3x - 1 < 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 3x - 1 = 0$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$
$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$
Парабола $y = x^2 + 3x - 1$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $x^2 + 3x - 1 < 0$ выполняется между корнями.
ОДЗ: $x \in (\frac{-3 - \sqrt{13}}{2}; \frac{-3 + \sqrt{13}}{2})$.
Приблизительно: $\sqrt{13} \approx 3.6$, поэтому ОДЗ примерно $x \in (-3.3; 0.3)$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другой при этом определен.
Случай 1: $x^2 - 4 = 0$
$x^2 = 4 \implies x_1 = 2, x_2 = -2$.
Случай 2: $\log_3(1 - x^2 - 3x) = 0$
$1 - x^2 - 3x = 3^0$
$1 - x^2 - 3x = 1$
$-x^2 - 3x = 0$
$-x(x + 3) = 0 \implies x_3 = 0, x_4 = -3$.

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ $x \in (\frac{-3 - \sqrt{13}}{2}; \frac{-3 + \sqrt{13}}{2})$:
$x_1 = 2$. Не принадлежит ОДЗ, так как $2 > \frac{-3 + \sqrt{13}}{2} \approx 0.3$. Посторонний корень.
$x_2 = -2$. Принадлежит ОДЗ, так как $\frac{-3 - \sqrt{13}}{2} \approx -3.3$, и $-3.3 < -2 < 0.3$. Корень подходит.
$x_3 = 0$. Принадлежит ОДЗ. Корень подходит.
$x_4 = -3$. Принадлежит ОДЗ. Корень подходит.
Ответ: $-3; -2; 0$.

4) Исходное уравнение: $(x^2 - x - 2) \log_2 (x^2 - 4x + 4) = 0$.
Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x^2 - 4x + 4 > 0$
$(x - 2)^2 > 0$
Квадрат любого числа, кроме нуля, положителен. Значит, неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x = 2$.
ОДЗ: $x \neq 2$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
Случай 1: $x^2 - x - 2 = 0$
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -2$.
Корни: $x_1 = 2, x_2 = -1$.
Случай 2: $\log_2(x^2 - 4x + 4) = 0$
$x^2 - 4x + 4 = 2^0$
$x^2 - 4x + 4 = 1$
$x^2 - 4x + 3 = 0$
По теореме Виета: $x_3 + x_4 = 4$, $x_3 \cdot x_4 = 3$.
Корни: $x_3 = 1, x_4 = 3$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 2$):
$x_1 = 2$: не удовлетворяет ОДЗ. Посторонний корень.
$x_2 = -1$: удовлетворяет ОДЗ. Корень подходит.
$x_3 = 1$: удовлетворяет ОДЗ. Корень подходит.
$x_4 = 3$: удовлетворяет ОДЗ. Корень подходит.
Ответ: $-1; 1; 3$.

1) Исходное уравнение: $lg x + lg x^2 + lg x^3 = 6$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием $x > 0$, так как аргумент логарифма должен быть строго положительным. Для $lg x^2$ условие $x^2 > 0$ (т.е. $x \neq 0$), а для $lg x^3$ условие $x^3 > 0$ (т.е. $x > 0$). Пересечение этих условий дает $x > 0$.
Используем свойство логарифма $log_a(b^c) = c \cdot log_a(b)$, чтобы вынести степени из-под знака логарифма:
$lg x + 2 \cdot lg x + 3 \cdot lg x = 6$
Приводим подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(1 + 2 + 3) \cdot lg x = 6$
$6 \cdot lg x = 6$
Разделим обе части уравнения на 6:
$lg x = 1$
По определению десятичного логарифма, если $lg x = 1$, то $x$ равен 10 в степени 1:
$x = 10^1$
$x = 10$
Проверяем, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $10 > 0$, корень подходит.
Ответ: 10

2) Исходное уравнение: $\frac{lg x}{1 - lg x} = 3$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Аргумент логарифма должен быть положительным: $x > 0$.
2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $1 - lg x \neq 0$, откуда $lg x \neq 1$, и, следовательно, $x \neq 10^1=10$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, 10) \cup (10, +\infty)$.
Для решения уравнения умножим обе части на знаменатель $(1 - lg x)$:
$lg x = 3 \cdot (1 - lg x)$
Раскроем скобки:
$lg x = 3 - 3 \cdot lg x$
Перенесем слагаемые с $lg x$ в левую часть:
$lg x + 3 \cdot lg x = 3$
$4 \cdot lg x = 3$
Найдем $lg x$:
$lg x = \frac{3}{4}$
По определению логарифма:
$x = 10^{\frac{3}{4}}$
Это значение можно также записать в виде корня: $x = \sqrt[4]{10^3} = \sqrt[4]{1000}$.
Найденный корень $x=10^{\frac{3}{4}}$ удовлетворяет ОДЗ, так как $10^{\frac{3}{4}} > 0$ и $10^{\frac{3}{4}} \neq 10$.
Ответ: $10^{\frac{3}{4}}$

3) Исходное уравнение: $log_2 log_2 log_2 x = 0$.
Это уравнение с вложенными логарифмами. Решать его будем последовательно, "разворачивая" логарифмы снаружи внутрь, используя определение логарифма: $log_a b = c \iff a^c = b$.
Найдем ОДЗ. Для существования выражения должны выполняться условия:
1. $x > 0$ (для внутреннего $log_2 x$)
2. $log_2 x > 0$ (для среднего $log_2(log_2 x)$). Из этого следует $x > 2^0$, то есть $x > 1$.
3. $log_2(log_2 x) > 0$ (для внешнего $log_2(log_2(log_2 x))$). Из этого следует $log_2 x > 2^0=1$, что в свою очередь дает $x > 2^1$, то есть $x > 2$.
Итоговое ОДЗ: $x > 2$.
Теперь решаем уравнение:
$log_2(log_2(log_2 x)) = 0$
Применяем определение логарифма к внешнему $log_2$:
$log_2(log_2 x) = 2^0 = 1$
Снова применяем определение логарифма:
$log_2 x = 2^1 = 2$
И последний раз:
$x = 2^2 = 4$
Проверяем корень по ОДЗ: $4 > 2$, условие выполняется.
Ответ: 4

4) Исходное уравнение: $10^{x + lg 2} = 20$.
ОДЗ для данного уравнения: $x$ - любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$), так как показатель степени может быть любым.
Воспользуемся свойством степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$10^x \cdot 10^{lg 2} = 20$
Теперь применим основное логарифмическое тождество $a^{log_a b} = b$. Так как $lg$ - это логарифм по основанию 10, то $10^{lg 2} = 2$.
Подставим это значение в уравнение:
$10^x \cdot 2 = 20$
Разделим обе части уравнения на 2:
$10^x = 10$
Число 10 можно представить как $10^1$:
$10^x = 10^1$
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$x = 1$
Ответ: 1

1) Исходное уравнение: $\log_3(5^{2x} - 2 \cdot 5^x) = 2 \cdot \log_9 15$.

Преобразуем правую часть уравнения, используя свойства логарифмов, в частности, формулу перехода к новому основанию и свойство степени: $2 \cdot \log_9 15 = 2 \cdot \log_{3^2} 15 = 2 \cdot \frac{1}{2} \log_3 15 = \log_3 15$.

Теперь уравнение имеет вид: $\log_3(5^{2x} - 2 \cdot 5^x) = \log_3 15$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $5^{2x} - 2 \cdot 5^x > 0$. Вынесем $5^x$ за скобки: $5^x(5^x - 2) > 0$. Так как $5^x > 0$ для любого действительного $x$, неравенство сводится к $5^x - 2 > 0$, откуда $5^x > 2$, то есть $x > \log_5 2$.

Поскольку основания логарифмов в уравнении одинаковы, мы можем приравнять их аргументы: $5^{2x} - 2 \cdot 5^x = 15$.

Это уравнение является квадратным относительно $5^x$. Сделаем замену: пусть $t = 5^x$. Учитывая ОДЗ, $t > 2$. Уравнение принимает вид: $t^2 - 2t - 15 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = -3$.

Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $t > 0$ (и тем более $t > 2$), поэтому он является посторонним. Корень $t_1 = 5$ удовлетворяет условию $t > 2$.

Выполним обратную замену: $5^x = 5$, откуда $x = 1$.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x > \log_5 2$). Так как $1 = \log_5 5$, а $5 > 2$, то $\log_5 5 > \log_5 2$, следовательно, $1 > \log_5 2$. Корень подходит.

Ответ: $1$

2) Исходное уравнение: $\log_2(2^{2(x+1)} + 2^{4x}) = 2 \log_4 5$.

Упростим правую часть уравнения: $2 \log_4 5 = 2 \log_{2^2} 5 = 2 \cdot \frac{1}{2} \log_2 5 = \log_2 5$.

Уравнение принимает вид: $\log_2(2^{2(x+1)} + 2^{4x}) = \log_2 5$.

ОДЗ: $2^{2(x+1)} + 2^{4x} > 0$. Это неравенство выполняется для всех действительных $x$, так как оба слагаемых являются степенными функциями с положительным основанием и, следовательно, всегда положительны.

Приравниваем аргументы логарифмов: $2^{2(x+1)} + 2^{4x} = 5$.

Преобразуем левую часть: $2^{2x+2} + (2^2)^{2x} = 5$, что равносильно $2^2 \cdot 2^{2x} + (2^{2x})^2 = 5$, или $4 \cdot 2^{2x} + (2^{2x})^2 = 5$.

Сделаем замену $t = 2^{2x}$. Так как $2^{2x} > 0$ для любого $x$, то $t > 0$. Уравнение становится квадратным: $t^2 + 4t - 5 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -5$.

Корень $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию $t > 0$. Рассматриваем $t_1 = 1$.

Производим обратную замену: $2^{2x} = 1$. Так как $1 = 2^0$, получаем $2^{2x} = 2^0$, откуда $2x = 0$ и $x = 0$.

Ответ: $0$

3) Исходное уравнение: $\log_3(3^x - 8) = 2 - x$.

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным, $3^x - 8 > 0$, что означает $3^x > 8$, или $x > \log_3 8$.

По определению логарифма ($ \log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b $), преобразуем уравнение: $3^{2-x} = 3^x - 8$.

Упростим левую часть: $\frac{3^2}{3^x} = 3^x - 8$, то есть $\frac{9}{3^x} = 3^x - 8$.

Сделаем замену $t = 3^x$. Из ОДЗ следует, что $t > 8$. Уравнение принимает вид: $\frac{9}{t} = t - 8$.

Домножим обе части на $t$ (так как $t>8$, то $t \neq 0$): $9 = t^2 - 8t$.

Получаем квадратное уравнение: $t^2 - 8t - 9 = 0$.

Корни уравнения: $t_1 = 9$ и $t_2 = -1$.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 8$. Корень $t_1 = 9$ удовлетворяет условию $9 > 8$.

Выполним обратную замену: $3^x = 9$, что равносильно $3^x = 3^2$, откуда $x = 2$.

Проверим решение по ОДЗ: $2 > \log_3 8$. Это верно, так как $3^2 > 8$ (то есть $9 > 8$).

Ответ: $2$

4) Исходное уравнение: $\log_7(6 + 7^{-x}) = 1 + x$.

ОДЗ: $6 + 7^{-x} > 0$. Так как $7^{-x} > 0$ для любого действительного $x$, сумма $6 + 7^{-x}$ всегда положительна. Следовательно, ОДЗ — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Используя определение логарифма, перепишем уравнение в виде: $7^{1+x} = 6 + 7^{-x}$.

Преобразуем уравнение: $7^1 \cdot 7^x = 6 + \frac{1}{7^x}$.

Сделаем замену $t = 7^x$. Так как $x \in \mathbb{R}$, то $t > 0$. Уравнение примет вид: $7t = 6 + \frac{1}{t}$.

Умножим обе части на $t$ ($t>0$): $7t^2 = 6t + 1$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $7t^2 - 6t - 1 = 0$.

Решим уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения: $t = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1)}}{2 \cdot 7} = \frac{6 \pm \sqrt{36+28}}{14} = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{14} = \frac{6 \pm 8}{14}$.

Получаем два корня: $t_1 = \frac{6+8}{14} = \frac{14}{14} = 1$ и $t_2 = \frac{6-8}{14} = -\frac{2}{14} = -\frac{1}{7}$.

Корень $t_2 = -1/7$ не удовлетворяет условию $t > 0$. Корень $t_1 = 1$ подходит.

Выполним обратную замену: $7^x = 1$. Так как $1 = 7^0$, имеем $7^x = 7^0$, откуда $x = 0$.

Ответ: $0$

302.1)

Берілген теңдеулер жүйесі:

$\begin{cases} \log_3(y - x) = 1, \\ 3^{x+1} \cdot 2^y = 24.\end{cases}$

Алдымен, логарифмдік теңдеуді шешейік. Логарифмнің анықтамасы бойынша:

$y - x = 3^1$

$y - x = 3$

Бұдан $y$-ті $x$ арқылы өрнектейміз:

$y = x + 3$

Енді осы өрнекті екінші теңдеуге қоямыз:

$3^{x+1} \cdot 2^{x+3} = 24$

Дәрежелердің қасиеттерін қолданып, теңдеуді түрлендіреміз:

$3^x \cdot 3^1 \cdot 2^x \cdot 2^3 = 24$

$3^x \cdot 3 \cdot 2^x \cdot 8 = 24$

$(3^x \cdot 2^x) \cdot (3 \cdot 8) = 24$

$(6)^x \cdot 24 = 24$

Теңдеудің екі жағын да 24-ке бөлеміз:

$6^x = 1$

$6^x = 6^0$

Бұдан $x = 0$ екені шығады.

Енді $y$-тің мәнін табамыз:

$y = x + 3 = 0 + 3 = 3$

Жүйенің шешімін тексерейік:

Бірінші теңдеу: $\log_3(3 - 0) = \log_3(3) = 1$.

Екінші теңдеу: $3^{0+1} \cdot 2^3 = 3^1 \cdot 8 = 24$.

Екі теңдеу де орындалады, демек шешім дұрыс.

Ответ: $(0; 3)$

2)

Берілген теңдеулер жүйесі:

$\begin{cases} \log_2(x - y) = 1, \\ 2^x \cdot 3^{y+1} = 72.\end{cases}$

Бірінші теңдеуден логарифмнің анықтамасы бойынша:

$x - y = 2^1$

$x - y = 2$

Бұдан $x$-ты $y$ арқылы өрнектейміз:

$x = y + 2$

Енді осы өрнекті екінші теңдеуге қоямыз:

$2^{y+2} \cdot 3^{y+1} = 72$

Дәрежелердің қасиеттерін қолданып, теңдеуді түрлендіреміз:

$2^y \cdot 2^2 \cdot 3^y \cdot 3^1 = 72$

$2^y \cdot 4 \cdot 3^y \cdot 3 = 72$

$(2^y \cdot 3^y) \cdot (4 \cdot 3) = 72$

$(6)^y \cdot 12 = 72$

Теңдеудің екі жағын да 12-ге бөлеміз:

$6^y = 6$

$6^y = 6^1$

Бұдан $y = 1$ екені шығады.

Енді $x$-тің мәнін табамыз:

$x = y + 2 = 1 + 2 = 3$

Жүйенің шешімін тексерейік:

Бірінші теңдеу: $\log_2(3 - 1) = \log_2(2) = 1$.

Екінші теңдеу: $2^3 \cdot 3^{1+1} = 8 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.

Екі теңдеу де орындалады, демек шешім дұрыс.

Ответ: $(3; 1)$

303. 1) Решим второе уравнение системы $\log_{\sqrt{2}}(y - x) = 4$. По определению логарифма, это уравнение эквивалентно следующему:

$y - x = (\sqrt{2})^4$

Так как $(\sqrt{2})^4 = (2^{1/2})^4 = 2^{4/2} = 2^2 = 4$, мы получаем линейное соотношение:

$y - x = 4$, откуда $y = x + 4$.

Теперь рассмотрим первое уравнение системы: $3^x \cdot 2^y = 576$.

Разложим число 576 на простые множители:

$576 = 2 \cdot 288 = 2^2 \cdot 144 = 2^2 \cdot 12^2 = 2^2 \cdot (3 \cdot 4)^2 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot (2^2)^2 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 2^4 = 3^2 \cdot 2^6$.

Таким образом, первое уравнение можно переписать в виде:

$3^x \cdot 2^y = 3^2 \cdot 2^6$.

Подставим в это уравнение ранее найденное выражение для $y$:

$3^x \cdot 2^{x+4} = 3^2 \cdot 2^6$

Применим свойства степеней:

$3^x \cdot 2^x \cdot 2^4 = 3^2 \cdot 2^6$

$(3 \cdot 2)^x \cdot 16 = 9 \cdot 64$

$6^x \cdot 16 = 576$

$6^x = \frac{576}{16} = 36$

Поскольку $36 = 6^2$, имеем $6^x = 6^2$, откуда следует, что $x=2$.

Теперь найдем $y$:

$y = x + 4 = 2 + 4 = 6$.

Проверим условие области определения логарифма $y - x > 0$.

$6 - 2 = 4 > 0$. Условие выполнено.

Ответ: $(2, 6)$.

2) Решим второе уравнение системы $\log_{\sqrt{3}}(x - y) = 2$. По определению логарифма, получаем:

$x - y = (\sqrt{3})^2$

$x - y = 3$, откуда $x = y + 3$.

Теперь рассмотрим первое уравнение системы: $3^x \cdot 2^y = 972$.

Разложим число 972 на простые множители:

$972 = 2 \cdot 486 = 2^2 \cdot 243 = 2^2 \cdot 3^5$.

Таким образом, первое уравнение можно переписать в виде:

$3^x \cdot 2^y = 3^5 \cdot 2^2$.

Подставим в это уравнение ранее найденное выражение для $x$:

$3^{y+3} \cdot 2^y = 3^5 \cdot 2^2$

Применим свойства степеней:

$3^y \cdot 3^3 \cdot 2^y = 3^5 \cdot 2^2$

$(3 \cdot 2)^y \cdot 27 = 243 \cdot 4$

$6^y \cdot 27 = 972$

$6^y = \frac{972}{27} = 36$

Поскольку $36 = 6^2$, имеем $6^y = 6^2$, откуда следует, что $y=2$.

Теперь найдем $x$:

$x = y + 3 = 2 + 3 = 5$.

Проверим условие области определения логарифма $x - y > 0$.

$5 - 2 = 3 > 0$. Условие выполнено.

Ответ: $(5, 2)$.

1)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 10^{2-\lg(x-y)} = 25, \\ \lg(x-y) + \lg(x+y) = 1 + 2\lg 2 \end{cases} $$ Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями положительности аргументов логарифмов: $x-y > 0$ и $x+y > 0$.

Преобразуем первое уравнение. Используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и основное логарифмическое тождество $10^{\lg(a)} = a$, получаем:
$10^{2-\lg(x-y)} = \frac{10^2}{10^{\lg(x-y)}} = \frac{100}{x-y}$.
Таким образом, уравнение принимает вид:
$\frac{100}{x-y} = 25$.
Отсюда находим, что $x-y = \frac{100}{25} = 4$.

Преобразуем второе уравнение. Используя свойства логарифмов $\lg a + \lg b = \lg(ab)$, $n\lg a = \lg(a^n)$ и учитывая, что $1 = \lg 10$, получаем:
Левая часть: $\lg(x-y) + \lg(x+y) = \lg((x-y)(x+y))$.
Правая часть: $1 + 2\lg 2 = \lg 10 + \lg(2^2) = \lg 10 + \lg 4 = \lg(10 \cdot 4) = \lg 40$.
Приравнивая левую и правую части, получаем:
$\lg((x-y)(x+y)) = \lg 40$,
что равносильно $(x-y)(x+y) = 40$.

Мы получили систему из двух более простых уравнений: $$ \begin{cases} x-y = 4 \\ (x-y)(x+y) = 40 \end{cases} $$ Подставим значение $x-y$ из первого уравнения во второе:
$4(x+y) = 40$,
откуда $x+y = 10$.

Теперь решаем систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} x-y = 4 \\ x+y = 10 \end{cases} $$ Сложив два уравнения, получим: $2x = 14$, следовательно, $x=7$.
Подставив $x=7$ в уравнение $x+y=10$, найдем $y$: $7 + y = 10$, следовательно, $y=3$.
Проверим, удовлетворяет ли решение ОДЗ: $x-y = 7-3 = 4 > 0$ и $x+y = 7+3 = 10 > 0$. Условия выполнены.

Ответ: $(7; 3)$.

2)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 10^{1+\lg(x+y)} = 50, \\ \lg(x-y) + \lg(x+y) = 2 - \lg 5 \end{cases} $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x-y > 0$ и $x+y > 0$.

Преобразуем первое уравнение. Используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основное логарифмическое тождество $10^{\lg a} = a$, получаем:
$10^{1+\lg(x+y)} = 10^1 \cdot 10^{\lg(x+y)} = 10(x+y)$.
Уравнение принимает вид:
$10(x+y) = 50$,
откуда $x+y = \frac{50}{10} = 5$.

Преобразуем второе уравнение. Используя свойства логарифмов $\lg a + \lg b = \lg(ab)$, $\lg a - \lg b = \lg(a/b)$ и учитывая, что $2 = \lg(10^2) = \lg 100$, получаем:
Левая часть: $\lg(x-y) + \lg(x+y) = \lg((x-y)(x+y))$.
Правая часть: $2 - \lg 5 = \lg 100 - \lg 5 = \lg(\frac{100}{5}) = \lg 20$.
Приравнивая части, получаем:
$\lg((x-y)(x+y)) = \lg 20$,
что равносильно $(x-y)(x+y) = 20$.

Мы получили новую систему уравнений: $$ \begin{cases} x+y = 5 \\ (x-y)(x+y) = 20 \end{cases} $$ Подставим значение $x+y$ из первого уравнения во второе:
$(x-y) \cdot 5 = 20$,
откуда $x-y = 4$.

Теперь решаем систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} x+y = 5 \\ x-y = 4 \end{cases} $$ Сложив два уравнения, получим: $2x = 9$, следовательно, $x=4.5$.
Подставив $x=4.5$ в уравнение $x+y=5$, найдем $y$: $4.5 + y = 5$, следовательно, $y=0.5$.
Проверим ОДЗ: $x-y = 4.5 - 0.5 = 4 > 0$ и $x+y = 4.5 + 0.5 = 5 > 0$. Условия выполнены.

Ответ: $(4.5; 0.5)$.

1) Исходное уравнение: $x^{\log_3 x - 2} = 27$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x > 0$.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:
$\log_3(x^{\log_3 x - 2}) = \log_3(27)$
По свойству логарифма степени $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$ преобразуем левую часть. Правая часть $\log_3(27) = \log_3(3^3) = 3$.
$(\log_3 x - 2) \cdot \log_3 x = 3$
Введем замену переменной: пусть $t = \log_3 x$. Уравнение примет вид:
$(t - 2)t = 3$
$t^2 - 2t - 3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -3. Корни:
$t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.
Выполним обратную замену:
1. $\log_3 x = 3 \implies x_1 = 3^3 = 27$.
2. $\log_3 x = -1 \implies x_2 = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $27; \frac{1}{3}$.

2) Исходное уравнение: $x^{\log_2 x - 3} = 16$.
ОДЗ: $x > 0$.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:
$\log_2(x^{\log_2 x - 3}) = \log_2(16)$
Преобразуем уравнение, используя свойство логарифма степени и зная, что $\log_2(16) = \log_2(2^4) = 4$:
$(\log_2 x - 3) \cdot \log_2 x = 4$
Введем замену переменной: пусть $t = \log_2 x$.
$(t - 3)t = 4$
$t^2 - 3t - 4 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно -4. Корни:
$t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.
Выполним обратную замену:
1. $\log_2 x = 4 \implies x_1 = 2^4 = 16$.
2. $\log_2 x = -1 \implies x_2 = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $16; \frac{1}{2}$.

3) Исходное уравнение: $x^{3 - \log_3 x} = 9$.
ОДЗ: $x > 0$.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:
$\log_3(x^{3 - \log_3 x}) = \log_3(9)$
Преобразуем уравнение, используя свойство логарифма степени и зная, что $\log_3(9) = \log_3(3^2) = 2$:
$(3 - \log_3 x) \cdot \log_3 x = 2$
Введем замену переменной: пусть $t = \log_3 x$.
$(3 - t)t = 2$
$3t - t^2 = 2$
$t^2 - 3t + 2 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни:
$t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.
Выполним обратную замену:
1. $\log_3 x = 1 \implies x_1 = 3^1 = 3$.
2. $\log_3 x = 2 \implies x_2 = 3^2 = 9$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $3; 9$.

4) Исходное уравнение: $x^{\log_5 x + 2} = 125$.
ОДЗ: $x > 0$.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 5:
$\log_5(x^{\log_5 x + 2}) = \log_5(125)$
Преобразуем уравнение, используя свойство логарифма степени и зная, что $\log_5(125) = \log_5(5^3) = 3$:
$(\log_5 x + 2) \cdot \log_5 x = 3$
Введем замену переменной: пусть $t = \log_5 x$.
$(t + 2)t = 3$
$t^2 + 2t - 3 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение равно -3. Корни:
$t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.
Выполним обратную замену:
1. $\log_5 x = 1 \implies x_1 = 5^1 = 5$.
2. $\log_5 x = -3 \implies x_2 = 5^{-3} = \frac{1}{125}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $5; \frac{1}{125}$.