Страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. При решении логарифмических уравнений необходимо в обязательном порядке учитывать область определения логарифмической функции. Это самое важное свойство, которое нельзя игнорировать.

Логарифм $\log_a(b)$ существует и имеет значение только при выполнении следующих трех условий:

1. Основание логарифма должно быть строго положительным: $a > 0$.

2. Основание логарифма не должно быть равно единице: $a \neq 1$.

3. Аргумент (подлогарифмическое выражение) должен быть строго положительным: $b > 0$.

Совокупность этих условий называется Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Перед тем как приступить к решению или после нахождения корней, необходимо проверить, удовлетворяют ли они ОДЗ. Если корень не входит в ОДЗ, он является посторонним и должен быть отброшен. Игнорирование этого свойства является одной из самых частых причин ошибок при решении логарифмических уравнений.

Также при решении используется свойство монотонности логарифмической функции, которое позволяет от равенства логарифмов по одинаковому основанию переходить к равенству их аргументов ($\log_c(f(x)) = \log_c(g(x)) \implies f(x) = g(x)$), но проверка ОДЗ является первостепенной.

Ответ: Свойство, которое необходимо обязательно учитывать, — это область определения логарифмической функции (основание больше 0 и не равно 1, аргумент больше 0).

2. Наиболее эффективным способом для решения уравнений вида $\log_a(x) = b$ и $\log_x(a) = b$ является использование определения логарифма.

В случае уравнения $\log_a(x) = b$, согласно определению, оно эквивалентно степенному уравнению $x = a^b$. При заданных $a > 0, a \neq 1$, это выражение сразу дает ответ, так как условие $x > 0$ будет выполнено автоматически ($a^b > 0$).

В случае уравнения $\log_x(a) = b$, оно по определению эквивалентно уравнению $x^b = a$. Если $b \neq 0$, то $x = a^{\frac{1}{b}}$. Однако, поскольку $x$ является основанием логарифма, найденное значение необходимо обязательно проверить на соответствие условиям: $x > 0$ и $x \neq 1$. Этот этап проверки является неотъемлемой частью решения.

Ответ: Наиболее эффективный метод для обоих уравнений — использование определения логарифма. Для $\log_a(x) = b$ решение — это $x = a^b$. Для $\log_x(a) = b$ решение — это $x = a^{\frac{1}{b}}$, с обязательной последующей проверкой выполнения условий $x > 0$ и $x \neq 1$.

1) Дано логарифмическое уравнение $\log_3(2x - 1) = 2$.

Согласно определению логарифма, выражение $\log_b a = c$ эквивалентно $a = b^c$. Применим это правило к нашему уравнению, где основание $b=3$, аргумент $a=2x-1$, а значение логарифма $c=2$.

$2x - 1 = 3^2$

$2x - 1 = 9$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$.

$2x = 9 + 1$

$2x = 10$

$x = 10 / 2$

$x = 5$

Необходимо также учесть область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.

$2x - 1 > 0$

$2x > 1$

$x > 1/2$

Поскольку найденное значение $x=5$ удовлетворяет условию $x > 1/2$, оно является корнем уравнения.

Ответ: 5

2) Дано уравнение $\ln(3x - 5) = 0$.

Натуральный логарифм ($\ln$) — это логарифм по основанию $e$. Уравнение можно записать как $\log_e(3x - 5) = 0$.

Используя определение логарифма, получаем:

$3x - 5 = e^0$

Любое число в степени 0 равно 1, поэтому $e^0 = 1$.

$3x - 5 = 1$

Решаем полученное линейное уравнение:

$3x = 1 + 5$

$3x = 6$

$x = 6 / 3$

$x = 2$

Проверим ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положительным:

$3x - 5 > 0$

$3x > 5$

$x > 5/3$

Значение $x = 2$ удовлетворяет условию $x > 5/3$ (так как $2 > 1.66...$), следовательно, является корнем.

Ответ: 2

3) Дано уравнение $\log_7(4 - x) = 1$.

По определению логарифма, $\log_b a = c$ равносильно $a = b^c$.

Применяем это определение к нашему уравнению:

$4 - x = 7^1$

$4 - x = 7$

Решаем полученное уравнение:

$-x = 7 - 4$

$-x = 3$

$x = -3$

Проверим ОДЗ, чтобы убедиться, что аргумент логарифма положителен:

$4 - x > 0$

$4 > x$

$x < 4$

Найденный корень $x = -3$ удовлетворяет условию $x < 4$, поэтому он является решением.

Ответ: -3

4) Дано уравнение $\lg(2x - 1) = \lg 3$.

Десятичный логарифм ($\lg$) — это логарифм по основанию 10. Уравнение имеет вид $\log_b f(x) = \log_b c$. Поскольку логарифмическая функция является монотонной, если равны логарифмы по одному и тому же основанию, то равны и их аргументы.

Приравниваем аргументы логарифмов:

$2x - 1 = 3$

Решаем полученное линейное уравнение:

$2x = 3 + 1$

$2x = 4$

$x = 4 / 2$

$x = 2$

Проверим ОДЗ. Аргументы всех логарифмов в исходном уравнении должны быть положительными.

Аргумент левой части: $2x - 1 > 0 \implies 2x > 1 \implies x > 1/2$.

Аргумент правой части: $3 > 0$, что верно.

Найденное значение $x = 2$ удовлетворяет ОДЗ ($2 > 1/2$), следовательно, является корнем уравнения.

Ответ: 2

1) Дано логарифмическое уравнение $lg(3 - x) = lg(x + 2)$.

Поскольку основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы. Но сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), так как аргументы логарифмов должны быть строго положительными.

ОДЗ:

$ \begin{cases} 3 - x > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} x < 3 \\ x > -2 \end{cases} $

Следовательно, ОДЗ: $x \in (-2; 3)$.

Теперь решаем уравнение:

$3 - x = x + 2$

$3 - 2 = x + x$

$1 = 2x$

$x = \frac{1}{2}$

Проверяем, входит ли корень в ОДЗ. $0.5 \in (-2; 3)$, следовательно, корень является решением уравнения.

Ответ: $x = 0.5$.

2) Дано логарифмическое уравнение $lg(x) + lg(x - 1) = lg(2)$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} x > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} x > 0 \\ x > 1 \end{cases} $

Следовательно, ОДЗ: $x \in (1; +\infty)$.

Используем свойство логарифмов (сумма логарифмов равна логарифму произведения):

$lg(x \cdot (x - 1)) = lg(2)$

Приравниваем аргументы:

$x(x - 1) = 2$

$x^2 - x - 2 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

$x_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$

$x_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1$

Проверяем корни по ОДЗ ($x > 1$). Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию. Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию, поэтому является посторонним.

Ответ: $x = 2$.

3) Дано логарифмическое уравнение $log_5(x + 1) = log_5(4x - 5)$.

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} x + 1 > 0 \\ 4x - 5 > 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} x > -1 \\ 4x > 5 \end{cases} $

$ \begin{cases} x > -1 \\ x > \frac{5}{4} \end{cases} $

Следовательно, ОДЗ: $x \in (\frac{5}{4}; +\infty)$.

Приравниваем аргументы логарифмов:

$x + 1 = 4x - 5$

$1 + 5 = 4x - x$

$6 = 3x$

$x = 2$

Проверяем корень по ОДЗ. $2 > \frac{5}{4}$ (т.к. $2 > 1.25$), следовательно, корень является решением.

Ответ: $x = 2$.

4) Дано логарифмическое уравнение $log_2(4 - x) = log_2(1 - 2x)$.

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} 4 - x > 0 \\ 1 - 2x > 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} x < 4 \\ 1 > 2x \end{cases} $

$ \begin{cases} x < 4 \\ x < \frac{1}{2} \end{cases} $

Следовательно, ОДЗ: $x \in (-\infty; \frac{1}{2})$.

Приравниваем аргументы логарифмов:

$4 - x = 1 - 2x$

$2x - x = 1 - 4$

$x = -3$

Проверяем корень по ОДЗ. $-3 < \frac{1}{2}$, следовательно, корень является решением.

Ответ: $x = -3$.

1) $ \lg(5-x) + \lg x = \lg 4 $
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$ \begin{cases} 5 - x > 0 \\ x > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x < 5 \\ x > 0 \end{cases} $
Таким образом, ОДЗ: $ 0 < x < 5 $.
Используем свойство логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) $:
$ \lg((5-x)x) = \lg 4 $
Так как основания логарифмов одинаковы, приравниваем их аргументы:
$ (5-x)x = 4 $
$ 5x - x^2 = 4 $
$ x^2 - 5x + 4 = 0 $
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 4. Корни:
$ x_1 = 1 $
$ x_2 = 4 $
Проверим, входят ли корни в ОДЗ ($ 0 < x < 5 $).
$ x_1 = 1 $ удовлетворяет условию $ 0 < 1 < 5 $.
$ x_2 = 4 $ удовлетворяет условию $ 0 < 4 < 5 $.
Оба корня подходят.
Ответ: 1; 4.

2) $ \lg(x+1) + \lg(x-1) = \lg 3 $
Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x + 1 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x > -1 \\ x > 1 \end{cases} $
Таким образом, ОДЗ: $ x > 1 $.
Применим свойство суммы логарифмов:
$ \lg((x+1)(x-1)) = \lg 3 $
$ \lg(x^2 - 1) = \lg 3 $
Приравниваем аргументы:
$ x^2 - 1 = 3 $
$ x^2 = 4 $
$ x_1 = 2, x_2 = -2 $
Проверим корни по ОДЗ ($ x > 1 $).
$ x_1 = 2 $ удовлетворяет условию $ 2 > 1 $.
$ x_2 = -2 $ не удовлетворяет условию $ -2 > 1 $, это посторонний корень.
Ответ: 2.

3) $ \ln(6-x) + \ln x = \ln 5 $
Найдем ОДЗ. Аргументы натуральных логарифмов должны быть строго положительными:
$ \begin{cases} 6 - x > 0 \\ x > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x < 6 \\ x > 0 \end{cases} $
Таким образом, ОДЗ: $ 0 < x < 6 $.
Используем свойство суммы логарифмов:
$ \ln((6-x)x) = \ln 5 $
Приравниваем аргументы:
$ (6-x)x = 5 $
$ 6x - x^2 = 5 $
$ x^2 - 6x + 5 = 0 $
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 5. Корни:
$ x_1 = 1 $
$ x_2 = 5 $
Проверим, входят ли корни в ОДЗ ($ 0 < x < 6 $).
$ x_1 = 1 $ удовлетворяет условию $ 0 < 1 < 6 $.
$ x_2 = 5 $ удовлетворяет условию $ 0 < 5 < 6 $.
Оба корня подходят.
Ответ: 1; 5.

4) $ \lg x + \lg(x-3) = 1 $
Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x > 0 \\ x > 3 \end{cases} $
Таким образом, ОДЗ: $ x > 3 $.
Применим свойство суммы логарифмов. Также представим 1 как десятичный логарифм: $ 1 = \lg 10 $.
$ \lg(x(x-3)) = \lg 10 $
Приравниваем аргументы:
$ x(x-3) = 10 $
$ x^2 - 3x = 10 $
$ x^2 - 3x - 10 = 0 $
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2 $
$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5 $
$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2 $
Проверим корни по ОДЗ ($ x > 3 $).
$ x_1 = 5 $ удовлетворяет условию $ 5 > 3 $.
$ x_2 = -2 $ не удовлетворяет условию $ -2 > 3 $, это посторонний корень.
Ответ: 5.

1) Дано уравнение $lg(x^2 - x) = 1 - lg5$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x^2 - x > 0$
$x(x - 1) > 0$
Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.
Теперь решим уравнение. Используем свойства логарифмов: $1 = lg10$ и $log_a b - log_a c = log_a(b/c)$.
$lg(x^2 - x) = lg10 - lg5$
$lg(x^2 - x) = lg(10/5)$
$lg(x^2 - x) = lg(2)$
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$x^2 - x = 2$
$x^2 - x - 2 = 0$
Это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Проверим, входят ли корни в ОДЗ:
$x_1 = 2$ принадлежит интервалу $(1, \infty)$, следовательно, является корнем.
$x_2 = -1$ принадлежит интервалу $(-\infty, 0)$, следовательно, является корнем.
Уравнение имеет два целых корня: -1 и 2. Наибольший из них - это 2.

Ответ: 2

2) Дано уравнение $log_6(2x^2 - x) = 1 - log_6 2$.
ОДЗ: $2x^2 - x > 0 \implies x(2x - 1) > 0$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup (1/2, \infty)$.
Решаем уравнение, используя свойство $1 = log_6 6$:
$log_6(2x^2 - x) = log_6 6 - log_6 2$
$log_6(2x^2 - x) = log_6(6/2)$
$log_6(2x^2 - x) = log_6 3$
Приравниваем аргументы:
$2x^2 - x = 3$
$2x^2 - x - 3 = 0$
Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(-3) = 1 + 24 = 25$.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{1 \pm 5}{4}$
$x_1 = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$
$x_2 = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1$
Проверяем корни по ОДЗ:
$x_1 = 1.5$ принадлежит интервалу $(1/2, \infty)$, является корнем.
$x_2 = -1$ принадлежит интервалу $(-\infty, 0)$, является корнем.
Корень $x_1 = 1.5$ не является целым числом. Корень $x_2 = -1$ является целым. Таким образом, наибольший (и единственный) целый корень уравнения равен -1.

Ответ: -1

3) Дано уравнение $2log_3^2 x - 7log_3 x + 3 = 0$.
ОДЗ: $x > 0$.
Это квадратное уравнение относительно $log_3 x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = log_3 x$.
Уравнение принимает вид: $2t^2 - 7t + 3 = 0$.
Решаем это квадратное уравнение: $D = (-7)^2 - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25$.
$t = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{7 \pm 5}{4}$
$t_1 = \frac{7 + 5}{4} = 3$
$t_2 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$
Выполняем обратную замену:
1) $log_3 x = 3 \implies x_1 = 3^3 = 27$.
2) $log_3 x = 0.5 \implies x_2 = 3^{0.5} = \sqrt{3}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Корень $x_1 = 27$ является целым. Корень $x_2 = \sqrt{3}$ не является целым.
Следовательно, наибольший целый корень уравнения равен 27.

Ответ: 27

4) Дано уравнение $log_3^2 x - 3log_3 x + 2 = 0$.
ОДЗ: $x > 0$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = log_3 x$.
$t^2 - 3t + 2 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.
Выполняем обратную замену:
1) $log_3 x = 1 \implies x_1 = 3^1 = 3$.
2) $log_3 x = 2 \implies x_2 = 3^2 = 9$.
Оба корня ($x=3$ и $x=9$) удовлетворяют ОДЗ ($x>0$) и являются целыми числами.
Наибольший из этих целых корней равен 9.

Ответ: 9

295. 1)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}x^2 + y^2 = 80, \\\log_2 x + \log_2 y = 5\end{cases}$$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется вторым уравнением: аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля, то есть $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем второе уравнение системы, используя свойство суммы логарифмов $\log_a M + \log_a N = \log_a (MN)$:

$\log_2(xy) = 5$

Далее, по определению логарифма, получаем:

$xy = 2^5 = 32$

Таким образом, исходная система эквивалентна следующей системе:

$$\begin{cases}x^2 + y^2 = 80 \\xy = 32\end{cases}$$

Для решения этой симметричной системы воспользуемся тождеством $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$. Подставим в него известные значения из системы:

$(x+y)^2 = 80 + 2 \cdot 32 = 80 + 64 = 144$

Извлекая квадратный корень, находим $x+y = \pm 12$. Так как из ОДЗ мы знаем, что $x>0$ и $y>0$, их сумма также должна быть положительной. Следовательно, мы выбираем $x+y = 12$.

Теперь задача сводится к решению системы:

$$\begin{cases}x+y = 12 \\xy = 32\end{cases}$$

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставляем наши значения:

$t^2 - 12t + 32 = 0$

Корни этого уравнения можно найти подбором: $t_1 = 4$, $t_2 = 8$ (так как $4+8=12$ и $4 \cdot 8=32$).

Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(4, 8)$ и $(8, 4)$. Обе пары удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(4, 8), (8, 4)$.

2)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}\lg x + \lg y = \lg 2, \\x^2 + y^2 = 5\end{cases}$$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этой системы: $x > 0$ и $y > 0$.

Упростим первое уравнение, используя свойство суммы логарифмов ($\lg$ это $\log_{10}$):

$\lg(xy) = \lg 2$

Поскольку логарифмическая функция с основанием 10 является монотонно возрастающей, равенство логарифмов означает равенство их аргументов:

$xy = 2$

Теперь система уравнений имеет более простой вид:

$$\begin{cases}x^2 + y^2 = 5 \\xy = 2\end{cases}$$

Применим тождество для квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$:

$(x+y)^2 = 5 + 2 \cdot 2 = 9$

Отсюда $x+y = \pm 3$. Учитывая ОДЗ ($x>0, y>0$), заключаем, что $x+y$ должно быть положительным. Таким образом, $x+y = 3$.

Мы получили систему:

$$\begin{cases}x+y = 3 \\xy = 2\end{cases}$$

По обратной теореме Виета, $x$ и $y$ — это корни квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$:

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Корни этого уравнения легко находятся: $t_1 = 1$, $t_2 = 2$ (так как $1+2=3$ и $1 \cdot 2=2$).

Следовательно, решениями системы являются пары $(1, 2)$ и $(2, 1)$. Обе пары удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(1, 2), (2, 1)$.

1)

Исходная система уравнений:
$\begin{cases} \log_2(x+y) = 3 \\ \log_{15}x = 1 - \log_{15}y \end{cases}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Из выражений под логарифмами следует, что $x+y > 0$, $x > 0$ и $y > 0$. Условия $x > 0$ и $y > 0$ автоматически обеспечивают выполнение условия $x+y > 0$. Таким образом, ОДЗ: $x > 0, y > 0$.

Преобразуем первое уравнение системы, используя определение логарифма:
$\log_2(x+y) = 3 \implies x+y = 2^3 \implies x+y = 8$.

Преобразуем второе уравнение системы. Перенесем $\log_{15}y$ в левую часть и используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:
$\log_{15}x + \log_{15}y = 1$
$\log_{15}(xy) = 1$
По определению логарифма:
$xy = 15^1 \implies xy = 15$.

В результате мы получили систему алгебраических уравнений:
$\begin{cases} x+y = 8 \\ xy = 15 \end{cases}$

Эту систему можно решить методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$: $y = 8 - x$. Подставим это выражение во второе уравнение:
$x(8-x) = 15$
$8x - x^2 = 15$
$x^2 - 8x + 15 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения $x_1$ и $x_2$ удовлетворяют условиям $x_1 + x_2 = 8$ и $x_1 \cdot x_2 = 15$. Легко подобрать корни: $x_1 = 3$, $x_2 = 5$.

Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 3$, то $y_1 = 8 - 3 = 5$.
Если $x_2 = 5$, то $y_2 = 8 - 5 = 3$.

Оба решения, (3; 5) и (5; 3), удовлетворяют ОДЗ ($x>0, y>0$).

Ответ: (3; 5), (5; 3).

2)

Исходная система уравнений:
$\begin{cases} \log_3(xy) = 2 + \log_3 2 \\ \log_3(x+y) = 2 \end{cases}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Из выражений под логарифмами следует, что $xy > 0$ и $x+y > 0$. Из $xy > 0$ следует, что $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки. Если бы они были оба отрицательными, то их сумма $x+y$ была бы отрицательной, что противоречит условию $x+y > 0$. Следовательно, $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение. Представим $2$ как логарифм по основанию 3: $2 = \log_3(3^2) = \log_3 9$.
$\log_3(xy) = \log_3 9 + \log_3 2$
Используя свойство суммы логарифмов:
$\log_3(xy) = \log_3(9 \cdot 2)$
$\log_3(xy) = \log_3(18)$
Отсюда получаем $xy = 18$.

Преобразуем второе уравнение по определению логарифма:
$\log_3(x+y) = 2 \implies x+y = 3^2 \implies x+y = 9$.

В результате мы получили систему алгебраических уравнений:
$\begin{cases} x+y = 9 \\ xy = 18 \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения $y = 9 - x$. Подставим во второе уравнение:
$x(9-x) = 18$
$9x - x^2 = 18$
$x^2 - 9x + 18 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения $x_1$ и $x_2$ удовлетворяют условиям $x_1 + x_2 = 9$ и $x_1 \cdot x_2 = 18$. Корни легко находятся: $x_1 = 3$, $x_2 = 6$.

Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 3$, то $y_1 = 9 - 3 = 6$.
Если $x_2 = 6$, то $y_2 = 9 - 6 = 3$.

Оба решения, (3; 6) и (6; 3), удовлетворяют ОДЗ ($x>0, y>0$).

Ответ: (3; 6), (6; 3).

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2^{\log_2(3x-y)} = 5, \\ \log_9(x^2 - y^2) - \log_9(x - y) = 0,5; \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} 3x-y > 0, \\ x^2 - y^2 > 0, \\ x - y > 0. \end{cases} $

Упростим первое уравнение, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$2^{\log_2(3x-y)} = 5 \implies 3x-y = 5$.

Упростим второе уравнение. Используем свойство разности логарифмов $\log_a M - \log_a N = \log_a (M/N)$:

$\log_9\left(\frac{x^2 - y^2}{x-y}\right) = 0,5$.

Применяя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ и учитывая, что по ОДЗ $x-y > 0$, мы можем сократить дробь:

$\log_9\left(\frac{(x-y)(x+y)}{x-y}\right) = 0,5 \implies \log_9(x+y) = 0,5$.

По определению логарифма, если $\log_a b = c$, то $b = a^c$. Следовательно:

$x+y = 9^{0,5} = 9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$.

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} 3x-y = 5, \\ x+y = 3. \end{cases} $

Сложим эти два уравнения, чтобы исключить $y$:

$(3x-y) + (x+y) = 5+3$

$4x = 8$

$x = 2$.

Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение системы:

$2+y = 3$

$y = 1$.

Проверим, удовлетворяет ли решение $(2, 1)$ условиям ОДЗ:

$3x-y = 3(2)-1 = 5 > 0$ (верно).

$x-y = 2-1 = 1 > 0$ (верно).

$x^2-y^2 = 2^2-1^2 = 3 > 0$ (верно).

Все условия выполнены, следовательно, решение корректно.

Ответ: $(2, 1)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3^{\log_3(x-y)} = 1, \\ \log_3(2x - 1) + \log_3 y = 1. \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} x-y > 0, \\ 2x-1 > 0 \implies x > 0,5, \\ y > 0. \end{cases} $

Упростим первое уравнение, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$3^{\log_3(x-y)} = 1 \implies x-y = 1$.

Упростим второе уравнение, используя свойство суммы логарифмов $\log_a M + \log_a N = \log_a (MN)$:

$\log_3((2x - 1)y) = 1$.

По определению логарифма:

$(2x - 1)y = 3^1 \implies (2x - 1)y = 3$.

Теперь решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x-y = 1, \\ (2x - 1)y = 3. \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$: $x = y+1$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(2(y+1) - 1)y = 3$

$(2y+2 - 1)y = 3$

$(2y+1)y = 3$

$2y^2 + y - 3 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1+24 = 25$.

Корни уравнения: $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 5}{4}$.

$y_1 = \frac{-1+5}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

$y_2 = \frac{-1-5}{4} = \frac{-6}{4} = -1,5$.

Проверим найденные значения $y$ на соответствие ОДЗ. По условию $y > 0$.

Значение $y_1 = 1$ удовлетворяет ОДЗ.

Значение $y_2 = -1,5$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-1,5 < 0$. Это посторонний корень.

Найдем $x$ для $y=1$ из уравнения $x = y+1$:

$x = 1+1 = 2$.

Проверим решение $(2, 1)$ на соответствие всем условиям ОДЗ:

$x-y = 2-1 = 1 > 0$ (верно).

$x = 2 > 0,5$ (верно).

$y = 1 > 0$ (верно).

Решение корректно.

Ответ: $(2, 1)$.