Номер 294, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дано уравнение $lg(x^2 - x) = 1 - lg5$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x^2 - x > 0$
$x(x - 1) > 0$
Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.
Теперь решим уравнение. Используем свойства логарифмов: $1 = lg10$ и $log_a b - log_a c = log_a(b/c)$.
$lg(x^2 - x) = lg10 - lg5$
$lg(x^2 - x) = lg(10/5)$
$lg(x^2 - x) = lg(2)$
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$x^2 - x = 2$
$x^2 - x - 2 = 0$
Это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Проверим, входят ли корни в ОДЗ:
$x_1 = 2$ принадлежит интервалу $(1, \infty)$, следовательно, является корнем.
$x_2 = -1$ принадлежит интервалу $(-\infty, 0)$, следовательно, является корнем.
Уравнение имеет два целых корня: -1 и 2. Наибольший из них - это 2.

Ответ: 2

2) Дано уравнение $log_6(2x^2 - x) = 1 - log_6 2$.
ОДЗ: $2x^2 - x > 0 \implies x(2x - 1) > 0$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup (1/2, \infty)$.
Решаем уравнение, используя свойство $1 = log_6 6$:
$log_6(2x^2 - x) = log_6 6 - log_6 2$
$log_6(2x^2 - x) = log_6(6/2)$
$log_6(2x^2 - x) = log_6 3$
Приравниваем аргументы:
$2x^2 - x = 3$
$2x^2 - x - 3 = 0$
Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(-3) = 1 + 24 = 25$.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{1 \pm 5}{4}$
$x_1 = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$
$x_2 = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1$
Проверяем корни по ОДЗ:
$x_1 = 1.5$ принадлежит интервалу $(1/2, \infty)$, является корнем.
$x_2 = -1$ принадлежит интервалу $(-\infty, 0)$, является корнем.
Корень $x_1 = 1.5$ не является целым числом. Корень $x_2 = -1$ является целым. Таким образом, наибольший (и единственный) целый корень уравнения равен -1.

Ответ: -1

3) Дано уравнение $2log_3^2 x - 7log_3 x + 3 = 0$.
ОДЗ: $x > 0$.
Это квадратное уравнение относительно $log_3 x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = log_3 x$.
Уравнение принимает вид: $2t^2 - 7t + 3 = 0$.
Решаем это квадратное уравнение: $D = (-7)^2 - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25$.
$t = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{7 \pm 5}{4}$
$t_1 = \frac{7 + 5}{4} = 3$
$t_2 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$
Выполняем обратную замену:
1) $log_3 x = 3 \implies x_1 = 3^3 = 27$.
2) $log_3 x = 0.5 \implies x_2 = 3^{0.5} = \sqrt{3}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Корень $x_1 = 27$ является целым. Корень $x_2 = \sqrt{3}$ не является целым.
Следовательно, наибольший целый корень уравнения равен 27.

Ответ: 27

4) Дано уравнение $log_3^2 x - 3log_3 x + 2 = 0$.
ОДЗ: $x > 0$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = log_3 x$.
$t^2 - 3t + 2 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.
Выполняем обратную замену:
1) $log_3 x = 1 \implies x_1 = 3^1 = 3$.
2) $log_3 x = 2 \implies x_2 = 3^2 = 9$.
Оба корня ($x=3$ и $x=9$) удовлетворяют ОДЗ ($x>0$) и являются целыми числами.
Наибольший из этих целых корней равен 9.

Ответ: 9