Номер 288, страница 140 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Решим неравенство $2^{\sqrt{x+1}} - 1 < 3 \cdot 2^{2-\sqrt{x+1}}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$x+1 \geq 0 \implies x \geq -1$.

Преобразуем правую часть неравенства, используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$2^{2-\sqrt{x+1}} = 2^2 \cdot 2^{-\sqrt{x+1}} = \frac{4}{2^{\sqrt{x+1}}}$.

Неравенство принимает вид:

$2^{\sqrt{x+1}} - 1 < 3 \cdot \frac{4}{2^{\sqrt{x+1}}}$

$2^{\sqrt{x+1}} - 1 < \frac{12}{2^{\sqrt{x+1}}}$

Введем замену переменной. Пусть $t = 2^{\sqrt{x+1}}$. Поскольку $\sqrt{x+1} \geq 0$, то $t = 2^{\sqrt{x+1}} \geq 2^0 = 1$.

Подставим $t$ в неравенство:

$t - 1 < \frac{12}{t}$

Так как $t \geq 1$, то $t$ - положительное число. Умножим обе части неравенства на $t$, сохранив знак неравенства:

$t(t - 1) < 12$

$t^2 - t < 12$

$t^2 - t - 12 < 0$

Для решения квадратного неравенства найдем корни уравнения $t^2 - t - 12 = 0$. По теореме Виета, корни равны $t_1 = -3$ и $t_2 = 4$.

Так как ветви параболы $y=t^2 - t - 12$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $-3 < t < 4$.

Учтем ограничение $t \geq 1$. Получаем систему условий для $t$:

$\begin{cases} -3 < t < 4 \\ t \geq 1 \end{cases}$

Решением системы является интервал $1 \leq t < 4$.

Выполним обратную замену:

$1 \leq 2^{\sqrt{x+1}} < 4$

Представим 1 и 4 как степени числа 2:

$2^0 \leq 2^{\sqrt{x+1}} < 2^2$

Поскольку основание степени $2 > 1$, мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знаки:

$0 \leq \sqrt{x+1} < 2$

Неравенство $0 \leq \sqrt{x+1}$ верно для всех $x$ из ОДЗ. Решим вторую часть неравенства $\sqrt{x+1} < 2$. Поскольку обе части неотрицательны, возведем их в квадрат:

$x+1 < 4$

$x < 3$

Объединим полученное решение с ОДЗ $x \geq -1$:

$\begin{cases} x < 3 \\ x \geq -1 \end{cases}$

Следовательно, решение неравенства: $-1 \leq x < 3$.

Ответ: $x \in [-1; 3)$.

2) Решим неравенство $2 \cdot 3^{\sqrt{x+1}} - 5 > 3^{1-\sqrt{x+1}}$.

ОДЗ: $x+1 \geq 0 \implies x \geq -1$.

Преобразуем неравенство:

$2 \cdot 3^{\sqrt{x+1}} - 5 > \frac{3^1}{3^{\sqrt{x+1}}}$

Сделаем замену $t = 3^{\sqrt{x+1}}$. Так как $\sqrt{x+1} \geq 0$, то $t \geq 3^0 = 1$.

Неравенство для $t$:

$2t - 5 > \frac{3}{t}$

Умножим на $t > 0$:

$2t^2 - 5t > 3$

$2t^2 - 5t - 3 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $2t^2 - 5t - 3 = 0$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

$t_{1,2} = \frac{5 \pm 7}{4}$. Корни: $t_1 = -\frac{1}{2}$, $t_2 = 3$.

Решение неравенства $2t^2 - 5t - 3 > 0$ находится вне корней: $t < -\frac{1}{2}$ или $t > 3$.

Учитывая ограничение $t \geq 1$, получаем $t > 3$.

Вернемся к переменной $x$:

$3^{\sqrt{x+1}} > 3^1$

Так как основание $3 > 1$, то $\sqrt{x+1} > 1$.

Возведем обе части в квадрат:

$x+1 > 1 \implies x > 0$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \geq -1$).

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

3) Решим неравенство $5^{\sqrt{x-2}} > 5^{1-\sqrt{x-2}} + 4$.

ОДЗ: $x-2 \geq 0 \implies x \geq 2$.

Преобразуем неравенство:

$5^{\sqrt{x-2}} > \frac{5}{5^{\sqrt{x-2}}} + 4$

Сделаем замену $t = 5^{\sqrt{x-2}}$. Так как $\sqrt{x-2} \geq 0$, то $t \geq 5^0 = 1$.

Неравенство для $t$:

$t > \frac{5}{t} + 4$

Умножим на $t > 0$:

$t^2 > 5 + 4t$

$t^2 - 4t - 5 > 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 4t - 5 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = -1$ и $t_2 = 5$.

Решение неравенства $t^2 - 4t - 5 > 0$ находится вне корней: $t < -1$ или $t > 5$.

Учитывая ограничение $t \geq 1$, получаем $t > 5$.

Вернемся к переменной $x$:

$5^{\sqrt{x-2}} > 5^1$

Так как основание $5 > 1$, то $\sqrt{x-2} > 1$.

Возведем обе части в квадрат:

$x-2 > 1 \implies x > 3$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \geq 2$).

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

4) Решим неравенство $2 \cdot 7^{\sqrt{2x-3}} \geq 7^{1-\sqrt{2x-3}} + 13$.

ОДЗ: $2x-3 \geq 0 \implies 2x \geq 3 \implies x \geq \frac{3}{2}$.

Преобразуем неравенство:

$2 \cdot 7^{\sqrt{2x-3}} \geq \frac{7}{7^{\sqrt{2x-3}}} + 13$

Сделаем замену $t = 7^{\sqrt{2x-3}}$. Так как $\sqrt{2x-3} \geq 0$, то $t \geq 7^0 = 1$.

Неравенство для $t$:

$2t \geq \frac{7}{t} + 13$

Умножим на $t > 0$:

$2t^2 \geq 7 + 13t$

$2t^2 - 13t - 7 \geq 0$

Найдем корни квадратного уравнения $2t^2 - 13t - 7 = 0$:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225 = 15^2$.

$t_{1,2} = \frac{13 \pm 15}{4}$. Корни: $t_1 = -\frac{1}{2}$, $t_2 = 7$.

Решение неравенства $2t^2 - 13t - 7 \geq 0$ находится на участках $t \leq -\frac{1}{2}$ или $t \geq 7$.

Учитывая ограничение $t \geq 1$, получаем $t \geq 7$.

Вернемся к переменной $x$:

$7^{\sqrt{2x-3}} \geq 7^1$

Так как основание $7 > 1$, то $\sqrt{2x-3} \geq 1$.

Возведем обе части в квадрат:

$2x-3 \geq 1 \implies 2x \geq 4 \implies x \geq 2$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \geq \frac{3}{2}$).

Ответ: $x \in [2; +\infty)$.