Номер 281, страница 139 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Исходное неравенство: $(\frac{3}{7})^{x^2} > (\frac{9}{49})^{x + 1,5}$.

Приведем обе части неравенства к одному основанию $\frac{3}{7}$. Заметим, что $\frac{9}{49} = (\frac{3}{7})^2$.

$(\frac{3}{7})^{x^2} > ((\frac{3}{7})^2)^{x + 1,5}$

$(\frac{3}{7})^{x^2} > (\frac{3}{7})^{2(x + 1,5)}$

$(\frac{3}{7})^{x^2} > (\frac{3}{7})^{2x + 3}$

Так как основание степени $a = \frac{3}{7}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный.

$x^2 < 2x + 3$

Решим полученное квадратное неравенство:

$x^2 - 2x - 3 < 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 = 4^2$

$x_1 = \frac{2 - 4}{2} = -1$

$x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3$

Парабола $y = x^2 - 2x - 3$ направлена ветвями вверх, поэтому значения меньше нуля находятся между корнями.

$-1 < x < 3$

Ответ: $x \in (-1; 3)$.

2)

Исходное неравенство: $(\frac{2}{3})^{x^2 + 4x} \ge (\frac{8}{27})^{x + 2}$.

Приведем обе части к основанию $\frac{2}{3}$. Заметим, что $\frac{8}{27} = (\frac{2}{3})^3$.

$(\frac{2}{3})^{x^2 + 4x} \ge ((\frac{2}{3})^3)^{x + 2}$

$(\frac{2}{3})^{x^2 + 4x} \ge (\frac{2}{3})^{3(x + 2)}$

$(\frac{2}{3})^{x^2 + 4x} \ge (\frac{2}{3})^{3x + 6}$

Основание степени $a = \frac{2}{3}$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому функция убывающая. Меняем знак неравенства на противоположный.

$x^2 + 4x \le 3x + 6$

$x^2 + x - 6 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2$

$x_1 = \frac{-1 - 5}{2} = -3$

$x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2$

Парабола $y = x^2 + x - 6$ направлена ветвями вверх, поэтому значения меньше или равные нулю находятся между корнями, включая сами корни.

$-3 \le x \le 2$

Ответ: $x \in [-3; 2]$.

3)

Исходное неравенство: $(\frac{1}{27})^{x^2 + 1} > (\frac{1}{9})^{-x^2 + 8x}$.

Приведем обе части к основанию $\frac{1}{3}$. Заметим, что $\frac{1}{27} = (\frac{1}{3})^3$ и $\frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^2$.

$((\frac{1}{3})^3)^{x^2 + 1} > ((\frac{1}{3})^2)^{-x^2 + 8x}$

$(\frac{1}{3})^{3(x^2 + 1)} > (\frac{1}{3})^{2(-x^2 + 8x)}$

$(\frac{1}{3})^{3x^2 + 3} > (\frac{1}{3})^{-2x^2 + 16x}$

Основание $a = \frac{1}{3} \in (0; 1)$, поэтому меняем знак неравенства.

$3x^2 + 3 < -2x^2 + 16x$

$5x^2 - 16x + 3 < 0$

Найдем корни уравнения $5x^2 - 16x + 3 = 0$:

$D = (-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 256 - 60 = 196 = 14^2$

$x_1 = \frac{16 - 14}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$x_2 = \frac{16 + 14}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3$

Парабола $y = 5x^2 - 16x + 3$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.

$\frac{1}{5} < x < 3$

Ответ: $x \in (\frac{1}{5}; 3)$.

4)

Исходное неравенство: $(0,2)^{\frac{6x - 1}{3 - x}} < (\frac{1}{5})^2$.

Преобразуем $0,2$ в обыкновенную дробь: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

$(\frac{1}{5})^{\frac{6x - 1}{3 - x}} < (\frac{1}{5})^2$

Основание $a = \frac{1}{5} \in (0; 1)$, поэтому меняем знак неравенства.

$\frac{6x - 1}{3 - x} > 2$

При решении дробно-рационального неравенства необходимо учесть область определения: $3 - x \ne 0 \Rightarrow x \ne 3$.

$\frac{6x - 1}{3 - x} - 2 > 0$

$\frac{6x - 1 - 2(3 - x)}{3 - x} > 0$

$\frac{6x - 1 - 6 + 2x}{3 - x} > 0$

$\frac{8x - 7}{3 - x} > 0$

Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

$8x - 7 = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{8}$

$3 - x = 0 \Rightarrow x = 3$

Нанесем точки на числовую ось и определим знаки на интервалах $(-\infty; \frac{7}{8})$, $(\frac{7}{8}; 3)$, $(3; +\infty)$.

При $x = 0$: $\frac{-7}{3} < 0$.

При $x = 1$: $\frac{1}{2} > 0$.

При $x = 4$: $\frac{25}{-1} < 0$.

Нам нужен интервал, где выражение больше нуля.

$\frac{7}{8} < x < 3$

Ответ: $x \in (\frac{7}{8}; 3)$.

5)

Исходное неравенство: $(\frac{1}{7})^{\frac{x}{4 - x}} > 49$.

Приведем обе части к основанию 7. $\frac{1}{7} = 7^{-1}$ и $49 = 7^2$.

$(7^{-1})^{\frac{x}{4 - x}} > 7^2$

$7^{-\frac{x}{4 - x}} > 7^2$

Основание $a = 7 > 1$, поэтому показательная функция возрастающая. Сохраняем знак неравенства.

$-\frac{x}{4 - x} > 2$

Область определения: $4 - x \ne 0 \Rightarrow x \ne 4$.

$\frac{-x}{4 - x} - 2 > 0$

$\frac{-x - 2(4 - x)}{4 - x} > 0$

$\frac{-x - 8 + 2x}{4 - x} > 0$

$\frac{x - 8}{4 - x} > 0$

Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=8$ и $x=4$.

Интервалы: $(-\infty; 4)$, $(4; 8)$, $(8; +\infty)$.

При $x = 0$: $\frac{-8}{4} < 0$.

При $x = 5$: $\frac{-3}{-1} > 0$.

При $x = 9$: $\frac{1}{-5} < 0$.

Решение: $4 < x < 8$.

Ответ: $x \in (4; 8)$.

6)

Исходное неравенство: $(\frac{1}{2})^{\frac{x - 1}{x + 2}} \ge 4$.

Приведем обе части к основанию 2. $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $4 = 2^2$.

$(2^{-1})^{\frac{x - 1}{x + 2}} \ge 2^2$

$2^{-\frac{x - 1}{x + 2}} \ge 2^2$

$2^{\frac{1 - x}{x + 2}} \ge 2^2$

Основание $a = 2 > 1$, сохраняем знак неравенства.

$\frac{1 - x}{x + 2} \ge 2$

Область определения: $x + 2 \ne 0 \Rightarrow x \ne -2$.

$\frac{1 - x}{x + 2} - 2 \ge 0$

$\frac{1 - x - 2(x + 2)}{x + 2} \ge 0$

$\frac{1 - x - 2x - 4}{x + 2} \ge 0$

$\frac{-3x - 3}{x + 2} \ge 0$

Разделим обе части на -3 и сменим знак неравенства:

$\frac{x + 1}{x + 2} \le 0$

Методом интервалов. Нули: $x = -1$ (числитель, точка включается), $x = -2$ (знаменатель, точка исключается).

Интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; -1]$, $[-1; +\infty)$.

При $x = -3$: $\frac{-2}{-1} > 0$.

При $x = -1.5$: $\frac{-0.5}{0.5} < 0$.

При $x = 0$: $\frac{1}{2} > 0$.

Решение: $-2 < x \le -1$.

Ответ: $x \in (-2; -1]$.