Номер 275, страница 135 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

275.1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x - \sqrt{49} = y - \sqrt[3]{343} \\ 3^y = 9^{2x-y} \end{cases} $$

Упростим первое уравнение. Так как $\sqrt{49} = 7$ и $\sqrt[3]{343} = \sqrt[3]{7^3} = 7$, уравнение принимает вид:

$x - 7 = y - 7$

Отсюда следует, что $x = y$.

Теперь упростим второе уравнение. Представим $9$ как $3^2$:

$3^y = (3^2)^{2x-y}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$3^y = 3^{2(2x-y)}$

$3^y = 3^{4x-2y}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять показатели:

$y = 4x - 2y$

$3y = 4x$

Теперь у нас есть упрощенная система линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x = y \\ 3y = 4x \end{cases} $$

Подставим $x = y$ во второе уравнение:

$3y = 4y$

$4y - 3y = 0$

$y = 0$

Поскольку $x = y$, то $x$ также равен 0.

Проверим решение $(0, 0)$, подставив его в исходную систему.

Первое уравнение: $0 - \sqrt{49} = 0 - \sqrt[3]{343} \implies -7 = -7$. Верно.

Второе уравнение: $3^0 = 9^{2(0)-0} \implies 1 = 9^0 \implies 1 = 1$. Верно.

Ответ: $(0, 0)$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 5 \cdot 3^{x-1} - 3 \cdot 2^y = -1 \\ 3^{x+1} + 5 \cdot 2^{y-1} = 14 \end{cases} $$

Преобразуем уравнения, используя свойства степеней $a^{m-n} = a^m/a^n$ и $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$$ \begin{cases} 5 \cdot \frac{3^x}{3} - 3 \cdot 2^y = -1 \\ 3 \cdot 3^x + 5 \cdot \frac{2^y}{2} = 14 \end{cases} $$

Введем замену переменных. Пусть $a = 3^x$ и $b = 2^y$. Так как показательные функции всегда положительны, $a > 0$ и $b > 0$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} \frac{5}{3}a - 3b = -1 \\ 3a + \frac{5}{2}b = 14 \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы избавиться от дробей:

$$ \begin{cases} 5a - 9b = -3 \\ 6a + 5b = 28 \end{cases} $$

Решим эту систему линейных уравнений методом исключения. Умножим первое уравнение на 6, а второе на 5:

$$ \begin{cases} 30a - 54b = -18 \\ 30a + 25b = 140 \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(30a + 25b) - (30a - 54b) = 140 - (-18)$

$79b = 158$

$b = 2$

Подставим значение $b=2$ в уравнение $5a - 9b = -3$:

$5a - 9(2) = -3$

$5a - 18 = -3$

$5a = 15$

$a = 3$

Мы получили $a = 3$ и $b = 2$. Оба значения положительны, что соответствует условиям замены.

Теперь вернемся к исходным переменным:

$a = 3^x \implies 3 = 3^x \implies x = 1$

$b = 2^y \implies 2 = 2^y \implies y = 1$

Проверим решение $(1, 1)$, подставив его в исходную систему.

Первое уравнение: $5 \cdot 3^{1-1} - 3 \cdot 2^1 = 5 \cdot 3^0 - 6 = 5 \cdot 1 - 6 = -1$. Верно.

Второе уравнение: $3^{1+1} + 5 \cdot 2^{1-1} = 3^2 + 5 \cdot 2^0 = 9 + 5 \cdot 1 = 14$. Верно.

Ответ: $(1, 1)$.