Номер 273, страница 135 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $5^x \cdot \sqrt[3]{8^{x-1}} = 500$

Преобразуем выражение под корнем: $8 = 2^3$.

$\sqrt[3]{8^{x-1}} = \sqrt[3]{(2^3)^{x-1}} = \sqrt[3]{2^{3(x-1)}} = 2^{\frac{3(x-1)}{3}} = 2^{x-1}$.

Подставим это в исходное уравнение:

$5^x \cdot 2^{x-1} = 500$

Используем свойство степени $a^{m-n} = a^m / a^n$:

$5^x \cdot \frac{2^x}{2^1} = 500$

Сгруппируем степени с одинаковым показателем $x$:

$\frac{(5 \cdot 2)^x}{2} = 500$

$\frac{10^x}{2} = 500$

Умножим обе части на 2:

$10^x = 1000$

Представим 1000 как степень 10:

$10^x = 10^3$

Отсюда следует, что $x=3$.

Ответ: $3$.

2) $x^2 + 4x + 2^{\sqrt{x+2}} + 3 = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$.

Перегруппируем слагаемые в уравнении:

$(x^2 + 4x + 3) + 2^{\sqrt{x+2}} = 0$

Рассмотрим функцию $f(x) = (x^2 + 4x + 3) + 2^{\sqrt{x+2}}$ на области определения $x \ge -2$.

Найдем значение функции в точке $x = -2$:

$f(-2) = ((-2)^2 + 4(-2) + 3) + 2^{\sqrt{-2+2}} = (4 - 8 + 3) + 2^{\sqrt{0}} = -1 + 2^0 = -1 + 1 = 0$.

Таким образом, $x = -2$ является корнем уравнения.

Исследуем поведение функции при $x > -2$. Найдем ее производную:

$f'(x) = (x^2 + 4x + 3)' + (2^{\sqrt{x+2}})' = (2x+4) + 2^{\sqrt{x+2}} \cdot \ln 2 \cdot (\sqrt{x+2})' = 2(x+2) + 2^{\sqrt{x+2}} \cdot \ln 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+2}}$.

При $x > -2$ все слагаемые в производной положительны: $x+2 > 0$, $2^{\sqrt{x+2}} > 0$, $\ln 2 > 0$, $\sqrt{x+2} > 0$.

Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x > -2$. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на промежутке $(-2, +\infty)$.

Поскольку $f(-2)=0$ и функция строго возрастает при $x > -2$, других корней у уравнения нет.

Ответ: $-2$.

3) $\sqrt{4^{2x} - 3 \cdot 2^{2x}} = 10 - 2^{2x+1}$

Упростим степени: $4^{2x} = (2^2)^{2x} = 2^{4x}$ и $2^{2x+1} = 2 \cdot 2^{2x}$.

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{2^{4x} - 3 \cdot 2^{2x}} = 10 - 2 \cdot 2^{2x}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^{2x}$. Так как $2^{2x} > 0$, то $t > 0$.

$\sqrt{t^2 - 3t} = 10 - 2t$

Для существования решения необходимо выполнение условий (ОДЗ):

1) $t^2 - 3t \ge 0 \implies t(t-3) \ge 0$. Так как $t > 0$, то $t \ge 3$.

2) $10 - 2t \ge 0 \implies 10 \ge 2t \implies t \le 5$.

Объединяя условия, получаем $3 \le t \le 5$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$t^2 - 3t = (10-2t)^2$

$t^2 - 3t = 100 - 40t + 4t^2$

$3t^2 - 37t + 100 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $t$:

$D = (-37)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 100 = 1369 - 1200 = 169 = 13^2$

$t_{1,2} = \frac{37 \pm 13}{6}$

$t_1 = \frac{37+13}{6} = \frac{50}{6} = \frac{25}{3}$.

$t_2 = \frac{37-13}{6} = \frac{24}{6} = 4$.

Проверим корни по ОДЗ $3 \le t \le 5$.

$t_1 = 25/3 \approx 8.33$, что не входит в ОДЗ.

$t_2 = 4$, что входит в ОДЗ.

Единственный подходящий корень $t=4$. Сделаем обратную замену:

$2^{2x} = 4$

$2^{2x} = 2^2$

$2x = 2$

$x = 1$

Ответ: $1$.

4) $(\sqrt{3-2\sqrt{2}})^x + (\sqrt{3+2\sqrt{2}})^x = 6$

Упростим выражения под корнями, выделив полный квадрат:

$3-2\sqrt{2} = 2 - 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{2}-1)^2$

$3+2\sqrt{2} = 2 + 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{2}+1)^2$

Подставим в уравнение:

$(\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2})^x + (\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2})^x = 6$

$(\sqrt{2}-1)^x + (\sqrt{2}+1)^x = 6$

Заметим, что основания степеней являются взаимно обратными числами:

$(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2-1=1 \implies \sqrt{2}-1 = \frac{1}{\sqrt{2}+1}$.

Сделаем замену. Пусть $t = (\sqrt{2}+1)^x$. Тогда $(\sqrt{2}-1)^x = ((\sqrt{2}+1)^{-1})^x = t^{-1} = \frac{1}{t}$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{1}{t} + t = 6$

Умножим на $t$ (где $t>0$):

$1 + t^2 = 6t$

$t^2 - 6t + 1 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 36 - 4 = 32$

$t_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$.

Выполним обратную замену для каждого корня:

1) $t_1 = 3+2\sqrt{2}$. Заметим, что $3+2\sqrt{2} = (\sqrt{2}+1)^2$.

$(\sqrt{2}+1)^x = (\sqrt{2}+1)^2 \implies x=2$.

2) $t_2 = 3-2\sqrt{2}$. Заметим, что $3-2\sqrt{2} = (\sqrt{2}-1)^2 = ((\sqrt{2}+1)^{-1})^2 = (\sqrt{2}+1)^{-2}$.

$(\sqrt{2}+1)^x = (\sqrt{2}+1)^{-2} \implies x=-2$.

Ответ: $-2; 2$.

5) $(\sqrt{7+4\sqrt{3}})^x - (\sqrt{7-4\sqrt{3}})^x = 14$

Упростим выражения под корнями, выделив полный квадрат:

$7+4\sqrt{3} = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2+\sqrt{3})^2$

$7-4\sqrt{3} = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2-\sqrt{3})^2$

Подставим в уравнение:

$(\sqrt{(2+\sqrt{3})^2})^x - (\sqrt{(2-\sqrt{3})^2})^x = 14$

$(2+\sqrt{3})^x - (2-\sqrt{3})^x = 14$

Заметим, что основания степеней являются взаимно обратными числами:

$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4-3=1 \implies 2-\sqrt{3} = \frac{1}{2+\sqrt{3}}$.

Сделаем замену. Пусть $t = (2+\sqrt{3})^x$. Тогда $(2-\sqrt{3})^x = t^{-1} = \frac{1}{t}$.

Уравнение принимает вид:

$t - \frac{1}{t} = 14$

Умножим на $t$ (где $t>0$):

$t^2 - 1 = 14t$

$t^2 - 14t - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 196 + 4 = 200$

$t_{1,2} = \frac{14 \pm \sqrt{200}}{2} = \frac{14 \pm 10\sqrt{2}}{2} = 7 \pm 5\sqrt{2}$.

Так как $t = (2+\sqrt{3})^x$ должно быть положительным, отбрасываем корень $t_2 = 7-5\sqrt{2}$ (поскольку $7 = \sqrt{49}$, $5\sqrt{2} = \sqrt{50}$, то $7-5\sqrt{2} < 0$).

Остается $t = 7+5\sqrt{2}$.

Выполним обратную замену:

$(2+\sqrt{3})^x = 7+5\sqrt{2}$

Прологарифмируем обе части по основанию $2+\sqrt{3}$:

$x = \log_{2+\sqrt{3}}(7+5\sqrt{2})$

Ответ: $\log_{2+\sqrt{3}}(7+5\sqrt{2})$.

6) $(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x + (\sqrt{2+\sqrt{3}})^x = 2$

Упростим выражения под корнями по формуле сложного радикала $\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}$:

$\sqrt{2+\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2+\sqrt{4-3}}{2}} + \sqrt{\frac{2-\sqrt{4-3}}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$

$\sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2+\sqrt{4-3}}{2}} - \sqrt{\frac{2-\sqrt{4-3}}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$

Подставим в уравнение:

$\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\right)^x + \left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\right)^x = 2$

Заметим, что основания степеней взаимно обратны:

$\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{3-1}{2} = 1$.

Сделаем замену. Пусть $t = \left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\right)^x$. Тогда $\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\right)^x = \frac{1}{t}$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{1}{t} + t = 2$

Умножим на $t$ (где $t>0$):

$1 + t^2 = 2t$

$t^2 - 2t + 1 = 0$

$(t-1)^2 = 0$

$t=1$

Сделаем обратную замену:

$\left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\right)^x = 1$

Так как основание степени не равно 1, равенство выполняется только тогда, когда показатель степени равен 0.

$x=0$

Ответ: $0$.