Номер 274, страница 135 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $9 \cdot \left(\frac{1}{27}\right)^{\left|1+\frac{1}{2}x\right|} = \frac{1}{81^x}$

Приведем все множители к основанию 3.

$9 = 3^2$

$\frac{1}{27} = 27^{-1} = (3^3)^{-1} = 3^{-3}$

$\frac{1}{81^x} = 81^{-x} = (3^4)^{-x} = 3^{-4x}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$3^2 \cdot (3^{-3})^{\left|1+\frac{1}{2}x\right|} = 3^{-4x}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$3^{2 - 3\left|1+\frac{1}{2}x\right|} = 3^{-4x}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$2 - 3\left|1+\frac{1}{2}x\right| = -4x$

$3\left|1+\frac{1}{2}x\right| = 2 + 4x$

Уравнение вида $|f(x)| = g(x)$ равносильно системе, в которой $g(x) \ge 0$.

Наложим ограничение на правую часть: $2 + 4x \ge 0 \implies 4x \ge -2 \implies x \ge -0.5$.

Теперь рассмотрим два случая раскрытия модуля:

Случай A: $1+\frac{1}{2}x \ge 0$. Тогда $|1+\frac{1}{2}x| = 1+\frac{1}{2}x$.

$3\left(1+\frac{1}{2}x\right) = 2 + 4x$

$3 + \frac{3}{2}x = 2 + 4x$

$1 = 4x - \frac{3}{2}x$

$1 = \frac{5}{2}x \implies x = \frac{2}{5} = 0.4$.

Корень $x=0.4$ удовлетворяет условию $x \ge -0.5$.

Случай Б: $1+\frac{1}{2}x < 0$. Тогда $|1+\frac{1}{2}x| = -(1+\frac{1}{2}x)$.

$3\left(-\left(1+\frac{1}{2}x\right)\right) = 2 + 4x$

$-3 - \frac{3}{2}x = 2 + 4x$

$-5 = 4x + \frac{3}{2}x$

$-5 = \frac{11}{2}x \implies x = -\frac{10}{11}$.

Корень $x = -\frac{10}{11} \approx -0.91$ не удовлетворяет условию $x \ge -0.5$, следовательно, является посторонним.

Ответ: $x=0.4$

2) $2^{|x - 1|} = 0.5^{1 - x}$

Приведем правую часть уравнения к основанию 2.

$0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$

Подставим в уравнение:

$2^{|x - 1|} = (2^{-1})^{1 - x}$

$2^{|x - 1|} = 2^{-1(1 - x)}$

$2^{|x - 1|} = 2^{x - 1}$

Приравниваем показатели степеней:

$|x - 1| = x - 1$

Равенство $|a| = a$ выполняется тогда и только тогда, когда $a \ge 0$.

Следовательно, $x - 1 \ge 0$.

$x \ge 1$.

Ответ: $[1; +\infty)$

3) $27^{|x + 2|} = 81^{x^2 - 1}$

Приведем обе части уравнения к основанию 3.

$27 = 3^3$

$81 = 3^4$

Подставим в уравнение:

$(3^3)^{|x + 2|} = (3^4)^{x^2 - 1}$

$3^{3|x + 2|} = 3^{4(x^2 - 1)}$

Приравниваем показатели степеней:

$3|x + 2| = 4(x^2 - 1)$

$3|x + 2| = 4x^2 - 4$

Рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения под модулем.

Случай A: $x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$.

Тогда $|x + 2| = x + 2$. Уравнение принимает вид:

$3(x + 2) = 4x^2 - 4$

$3x + 6 = 4x^2 - 4$

$4x^2 - 3x - 10 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(4)(-10) = 9 + 160 = 169 = 13^2$.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 13}{8} = \frac{16}{8} = 2$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 13}{8} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4} = -1.25$.

Оба корня ($2$ и $-1.25$) удовлетворяют условию $x \ge -2$.

Случай Б: $x + 2 < 0 \implies x < -2$.

Тогда $|x + 2| = -(x + 2)$. Уравнение принимает вид:

$3(-(x + 2)) = 4x^2 - 4$

$-3x - 6 = 4x^2 - 4$

$4x^2 + 3x + 2 = 0$

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(4)(2) = 9 - 32 = -23$.

Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Ответ: $x_1=2, x_2=-1.25$

4) $(0.2)^{|x + 3|} = \left(\frac{1}{5}\right)^{x + 1}$

Приведем обе части уравнения к одному основанию.

$0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Уравнение принимает вид:

$\left(\frac{1}{5}\right)^{|x + 3|} = \left(\frac{1}{5}\right)^{x + 1}$

Приравниваем показатели степеней:

$|x + 3| = x + 1$

Как и в задаче 1, правая часть должна быть неотрицательной: $x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

Раскрываем модуль:

Случай А: $x + 3 = x + 1$

$3 = 1$. Это неверное равенство, решений нет.

Случай Б: $x + 3 = -(x + 1)$

$x + 3 = -x - 1$

$2x = -4$

$x = -2$

Проверяем корень $x=-2$ по условию $x \ge -1$.

$-2 < -1$, следовательно, корень не удовлетворяет ограничению и является посторонним.

Таким образом, у уравнения нет решений.

Ответ: корней нет