Номер 267, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $(0,25)^{x^2-4} = 2^{x^2-1}$

Для решения данного показательного уравнения необходимо привести обе части к одному основанию. Заметим, что $0,25 = \frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2 = 2^{-2}$.

Подставим это в исходное уравнение:

$(2^{-2})^{x^2-4} = 2^{x^2-1}$

Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$2^{-2(x^2-4)} = 2^{x^2-1}$

$2^{-2x^2+8} = 2^{x^2-1}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$-2x^2+8 = x^2-1$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 2x^2 - 1 - 8 = 0$

$3x^2 - 9 = 0$

$3x^2 = 9$

$x^2 = 3$

$x = \pm\sqrt{3}$

Ответ: $x_1 = \sqrt{3}, x_2 = -\sqrt{3}$.

2) $27^{-1} \cdot 9^{2x} = 243$

Приведем все числа в уравнении к основанию 3. Мы знаем, что $27 = 3^3$, $9 = 3^2$, и $243 = 3^5$.

Подставим эти значения в уравнение:

$(3^3)^{-1} \cdot (3^2)^{2x} = 3^5$

Используем свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$3^{-3} \cdot 3^{4x} = 3^5$

$3^{-3+4x} = 3^5$

Поскольку основания равны, приравниваем показатели степеней:

$-3+4x = 5$

$4x = 5 + 3$

$4x = 8$

$x = 2$

Ответ: $x = 2$.

3) $\sqrt[4]{5} \cdot 5^{3x} = 125$

Приведем все члены уравнения к основанию 5. Представим корень и число 125 в виде степени с основанием 5: $\sqrt[4]{5} = 5^{1/4}$ и $125 = 5^3$.

Подставим в уравнение:

$5^{1/4} \cdot 5^{3x} = 5^3$

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$5^{\frac{1}{4} + 3x} = 5^3$

Приравниваем показатели степеней:

$\frac{1}{4} + 3x = 3$

$3x = 3 - \frac{1}{4}$

$3x = \frac{12}{4} - \frac{1}{4}$

$3x = \frac{11}{4}$

$x = \frac{11}{4 \cdot 3}$

$x = \frac{11}{12}$

Ответ: $x = \frac{11}{12}$.

4) $6^{x+1} \cdot \sqrt[3]{6} = 216$

Приведем все члены уравнения к основанию 6. Мы знаем, что $\sqrt[3]{6} = 6^{1/3}$ и $216 = 6^3$.

Подставим эти значения в уравнение:

$6^{x+1} \cdot 6^{1/3} = 6^3$

Применяем свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$6^{(x+1) + \frac{1}{3}} = 6^3$

$6^{x + \frac{3}{3} + \frac{1}{3}} = 6^3$

$6^{x + \frac{4}{3}} = 6^3$

Приравниваем показатели степеней:

$x + \frac{4}{3} = 3$

$x = 3 - \frac{4}{3}$

$x = \frac{9}{3} - \frac{4}{3}$

$x = \frac{5}{3}$

Ответ: $x = \frac{5}{3}$.