Страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Көрсеткіштік теңдеуді бірдей негізге келтіру тәсілі көрсеткіштік функцияның монотондылығына негізделген. Егер негіз $a$ оң және бірге тең болмаса ($a > 0, a \neq 1$), онда $y = a^x$ функциясы қатаң монотонды болады (егер $a > 1$ болса, өспелі; егер $0 < a < 1$ болса, кемімелі). Бұл дегеніміз, аргументтің әр түрлі мәніне функцияның әр түрлі мәні сәйкес келеді. Сондықтан, егер екі дәреженің негіздері бірдей және мәндері тең болса, онда олардың дәреже көрсеткіштері де тең болуы керек. Яғни, $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ теңдеуі $f(x) = g(x)$ теңдеуіне мәндес болады.
Ответ: Бұл тәсіл негіздері бірдей екі дәреженің теңдігінен олардың дәреже көрсеткіштерінің теңдігі шығатынына, яғни $a > 0, a \neq 1$ болғанда $a^x = a^y \iff x = y$ қасиетіне негізделген.

2. Жоқ, көрсеткіштік теңдеуді әр уақытта бірдей негізге келтіру тәсілімен шығару мүмкін емес. Бұл тәсілді тек теңдеудің екі жағындағы өрнектерді де бірдей негіздің дәрежесі түрінде оңай өрнектеуге болатын жағдайларда ғана қолдануға болады. Мысалы, $2^x = 3$ теңдеуінде 3 санын 2 негізінің рационал дәрежесі түрінде өрнектеу мүмкін емес. Сол сияқты, $2^x + 3^x = 17$ немесе $4^x - 2^x - 6 = 0$ сияқты теңдеулерді бұл тәсілмен шығаруға болмайды. Мұндай жағдайларда басқа тәсілдер қолданылады: логарифмдеу, жаңа айнымалы енгізу, графикалық тәсіл және т.б.
Ответ: Жоқ, себебі теңдеудің екі жағын да бірдей негізге келтіру әрдайым мүмкін бола бермейді.

3. Иә, бұл тұжырым дұрыс (егер сұрақта «нақты $x$ түбірі» деп тұрса). Егер $a > 0, a \neq 1$ және $p$ – кез келген оң сан болса, онда $a^x = p$ теңдеуінің әрқашан бір ғана нақты шешімі болады. Бұл $y = a^x$ көрсеткіштік функциясының қасиеттеріне байланысты. Бұл функцияның анықталу облысы барлық нақты сандар жиыны ($D(y) = (-\infty, +\infty)$), ал мәндер жиыны барлық оң сандар жиыны ($E(y) = (0, +\infty)$). Функция қатаң монотонды болғандықтан, $y = p$ түзуі ($p > 0$ болғанда) $y = a^x$ функциясының графигін тек бір ғана нүктеде қиып өтеді. Осы қиылысу нүктесінің абсциссасы теңдеудің жалғыз шешімі болып табылады және ол $x = \log_a p$ формуласымен анықталады.
Мысал 1 (рационал түбір): $3^x = 81$. Мұнда $a = 3 > 0, a \neq 1$ және $p = 81 > 0$. Теңдеудің жалғыз шешімі бар: $x = \log_3 81 = 4$.
Мысал 2 (иррационал түбір): $5^x = 10$. Мұнда $a = 5 > 0, a \neq 1$ және $p = 10 > 0$. Теңдеудің жалғыз шешімі бар: $x = \log_5 10$. Бұл сан иррационал.
Ответ: Иә, тұжырым дұрыс. Себебі $y=a^x$ ($a>0, a\neq1$) функциясының мәндер жиыны барлық оң сандар және ол қатаң монотонды, сондықтан кез келген $p > 0$ үшін $a^x=p$ теңдеуінің жалғыз нақты $x = \log_a p$ түбірі болады.

4. Иә, бұл тұжырыммен толық келісемін. Математикада дәреженің қасиеттері алдымен натурал көрсеткіштер үшін анықталып, дәлелденеді. Кейін бұл ұғым бүтін, рационал және соңында нақты көрсеткіштер үшін кеңейтіледі. Бұл кеңейтудің негізгі мақсаты – дәреженің бастапқыда натурал көрсеткіштер үшін орнатылған қасиеттерін сақтап қалу. Сондықтан, $x$ кез келген нақты сан болғанда да, $a^x$ ($a>0$) өрнегіне бүтін оң көрсеткішті дәрежеге қолданылатын барлық негізгі ережелер орындалады:
1) $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$
2) $a^x : a^y = a^{x-y}$
3) $(a^x)^y = a^{xy}$
4) $(ab)^x = a^x b^x$
5) $(\frac{a}{b})^x = \frac{a^x}{b^x}$
Бұл қасиеттердің сақталуы кез келген нақты көрсеткішті дәрежелермен алгебралық түрлендірулерді бірізді және жүйелі түрде орындауға мүмкіндік береді.
Ответ: Иә, келісемін, себебі нақты көрсеткішті дәреже ұғымы бүтін оң көрсеткішті дәреженің қасиеттері сақталатындай етіп енгізілген.

5. Көрсеткіштік теңдеуді жаңа айнымалы енгізу арқылы шығару тәсілінің мәні – күрделі теңдеуді қарапайым алгебралық (мысалы, сызықтық, квадраттық, бөлшек-рационал) теңдеуге келтіру арқылы оны шешуді жеңілдету. Бұл әдіс әдетте теңдеуде бірдей көрсеткіштік өрнек бірнеше рет кездескенде қолданылады.
Тәсілдің негізгі қадамдары:
1. Теңдеудегі қайталанып тұрған көрсеткіштік өрнекті (мысалы, $a^{f(x)}$) анықтау.
2. Сол өрнекті жаңа айнымалымен (мысалы, $t$) алмастыру: $t = a^{f(x)}$. Көрсеткіштік функцияның мәні әрдайым оң болғандықтан, $t > 0$ шартын ескеру қажет.
3. Алмастыру нәтижесінде $t$ айнымалысына қатысты жаңа, әдетте анағұрлым қарапайым теңдеу алу.
4. Осы жаңа теңдеуді шешіп, $t$-ның мәндерін табу.
5. Табылған $t$-ның мәндерінің ішінен $t > 0$ шартын қанағаттандырмайтындарын алып тастау.
6. Әрбір жарамды $t_i$ мәні үшін $a^{f(x)} = t_i$ қарапайым көрсеткіштік теңдеуін шешіп, бастапқы $x$ айнымалысын табу.
Мысалы, $A \cdot a^{2x} + B \cdot a^x + C = 0$ түріндегі теңдеу $t=a^x$ ($t>0$) алмастыруы арқылы $At^2+Bt+C=0$ квадраттық теңдеуіне келтіріледі.
Ответ: Бұл тәсілдің мәні – көрсеткіштік өрнекті жаңа айнымалымен алмастыру арқылы күрделі көрсеткіштік теңдеудің құрылымын жеңілдетіп, оны шешуге ыңғайлы алгебралық теңдеуге келтіру.

1) $3^x = 81$

Для решения этого показательного уравнения необходимо привести обе части к одному основанию. В данном случае это основание 3.

Представим число 81 как степень числа 3:

$81 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4$

Теперь уравнение можно переписать в виде:

$3^x = 3^4$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x = 4$

Ответ: $4$.

2) $4^x = 256$

Приведем обе части уравнения к основанию 4.

Представим число 256 как степень числа 4:

$256 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^4$

Подставим это значение в исходное уравнение:

$4^x = 4^4$

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

$x = 4$

Ответ: $4$.

3) $2^x = \frac{1}{32}$

Приведем обе части уравнения к основанию 2.

Сначала представим число 32 как степень числа 2:

$32 = 2^5$

Теперь используем свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = 2^{-5}$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$2^x = 2^{-5}$

Приравниваем показатели степеней:

$x = -5$

Ответ: $-5$.

4) $5^{x+1} = 125$

Приведем обе части уравнения к основанию 5.

Представим число 125 как степень числа 5:

$125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$

Перепишем уравнение:

$5^{x+1} = 5^3$

Поскольку основания равны, приравниваем показатели степеней:

$x+1 = 3$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно x:

$x = 3 - 1$

$x = 2$

Ответ: $2$.

1) Чтобы решить уравнение $8^x = 16$, приведем обе его части к одному основанию, в данном случае к основанию 2. Мы знаем, что $8 = 2^3$ и $16 = 2^4$. Подставим эти значения в исходное уравнение: $(2^3)^x = 2^4$. По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$ получаем $2^{3x} = 2^4$. Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $3x = 4$. Решая это простое линейное уравнение, находим $x = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$

2) В уравнении $25^x = \frac{1}{5}$ приведем обе части к основанию 5. Число 25 можно представить как $5^2$, а дробь $\frac{1}{5}$ как $5^{-1}$ (используя свойство степени с отрицательным показателем). Тогда уравнение принимает вид: $(5^2)^x = 5^{-1}$. Упростим левую часть, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $5^{2x} = 5^{-1}$. Теперь, когда основания равны, приравниваем показатели степеней: $2x = -1$. Отсюда находим $x = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$

3) В уравнении $4^{3-2x} = 4^{2-x}$ основания степеней в левой и правой частях уже одинаковы и равны 4. Поэтому мы можем сразу приравнять показатели степеней: $3 - 2x = 2 - x$. Решим полученное линейное уравнение. Перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а числовые значения в другую: $3 - 2 = 2x - x$. Упрощая, получаем $1 = x$.

Ответ: $1$

4) Для решения уравнения $2^{x-2} = 1$ представим число 1 в виде степени с основанием 2. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, поэтому $1 = 2^0$. Уравнение приобретает вид: $2^{x-2} = 2^0$. Поскольку основания степеней равны, приравниваем их показатели: $x - 2 = 0$. Решая это уравнение, получаем $x = 2$.

Ответ: $2$

1) $2^x + 2^{x+1} = 12$

Для решения данного показательного уравнения воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

$2^x + 2^x \cdot 2^1 = 12$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x(1 + 2) = 12$

$2^x \cdot 3 = 12$

Разделим обе части уравнения на 3:

$2^x = \frac{12}{3}$

$2^x = 4$

Представим число 4 в виде степени с основанием 2:

$2^x = 2^2$

Так как основания степеней равны, приравняем их показатели:

$x = 2$

Ответ: $x=2$.

2) $7^{x+2} - 7^x = 336$

Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ для преобразования первого слагаемого:

$7^x \cdot 7^2 - 7^x = 336$

Вынесем общий множитель $7^x$ за скобки:

$7^x(7^2 - 1) = 336$

Вычислим значение в скобках:

$7^x(49 - 1) = 336$

$7^x \cdot 48 = 336$

Найдем $7^x$, разделив обе части уравнения на 48:

$7^x = \frac{336}{48}$

$7^x = 7$

Представим 7 как $7^1$:

$7^x = 7^1$

Приравниваем показатели степеней:

$x = 1$

Ответ: $x=1$.

3) $3^x + 3^{x+1} + 3^{x+2} = 117$

Применим свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ ко второму и третьему слагаемым:

$3^x + 3^x \cdot 3^1 + 3^x \cdot 3^2 = 117$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x(1 + 3^1 + 3^2) = 117$

Выполним вычисления в скобках:

$3^x(1 + 3 + 9) = 117$

$3^x \cdot 13 = 117$

Разделим обе части уравнения на 13:

$3^x = \frac{117}{13}$

$3^x = 9$

Представим число 9 в виде степени с основанием 3:

$3^x = 3^2$

Приравниваем показатели степеней:

$x = 2$

Ответ: $x=2$.

4) $5^{x-2} - 5^{x-1} + 5^x = 21$

Для решения этого уравнения вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $5^{x-2}$. Для этого представим остальные слагаемые через этот множитель, используя свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$5^{x-1} = 5^{(x-2)+1} = 5^{x-2} \cdot 5^1$

$5^x = 5^{(x-2)+2} = 5^{x-2} \cdot 5^2$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$5^{x-2} - 5^{x-2} \cdot 5^1 + 5^{x-2} \cdot 5^2 = 21$

Вынесем $5^{x-2}$ за скобки:

$5^{x-2}(1 - 5^1 + 5^2) = 21$

Вычислим значение в скобках:

$5^{x-2}(1 - 5 + 25) = 21$

$5^{x-2} \cdot 21 = 21$

Разделим обе части на 21:

$5^{x-2} = 1$

Представим 1 как степень с основанием 5, используя свойство $a^0 = 1$:

$5^{x-2} = 5^0$

Так как основания равны, приравниваем показатели:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Ответ: $x=2$.

1) $3^{2x+1} = 9^{2x}$
Приведем обе части уравнения к одному основанию 3. Так как $9 = 3^2$, то $9^{2x} = (3^2)^{2x} = 3^{4x}$.
Исходное уравнение принимает вид:
$3^{2x+1} = 3^{4x}$
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$2x+1 = 4x$
$1 = 4x - 2x$
$1 = 2x$
$x = \frac{1}{2}$
Ответ: $x = \frac{1}{2}$

2) $2 \cdot 2^{2x} - 3 \cdot 2^x - 2 = 0$
Это показательное уравнение можно свести к квадратному. Заметим, что $2^{2x} = (2^x)^2$.
Сделаем замену переменной. Пусть $y = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $y > 0$.
Уравнение примет вид:
$2y^2 - 3y - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$
Найдем корни для $y$:
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
Теперь вернемся к замене $y = 2^x$.
1) $2^x = y_1 = 2$. Отсюда $2^x = 2^1$, следовательно $x = 1$. Этот корень подходит, так как $y_1=2 > 0$.
2) $2^x = y_2 = -\frac{1}{2}$. Это уравнение не имеет решений, так как показательная функция $2^x$ не может быть отрицательной.
Таким образом, у исходного уравнения есть только один корень.
Ответ: $x = 1$

3) $2 \cdot 9^x - 3^{x+1} - 9 = 0$
Преобразуем уравнение, чтобы свести его к квадратному.
$9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$
$3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$
Подставим эти выражения в уравнение:
$2 \cdot (3^x)^2 - 3 \cdot 3^x - 9 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.
$2t^2 - 3t - 9 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81 = 9^2$
$t_1 = \frac{3 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$
$t_2 = \frac{3 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$
Вернемся к замене $t = 3^x$.
1) $3^x = t_1 = 3$. Отсюда $3^x = 3^1$, следовательно $x = 1$.
2) $3^x = t_2 = -\frac{3}{2}$. Уравнение не имеет решений, так как $3^x > 0$ для любого $x$.
Ответ: $x = 1$

4) $25^x - 26 \cdot 5^x + 25 = 0$
Это уравнение также сводится к квадратному. Заметим, что $25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$.
Сделаем замену переменной. Пусть $z = 5^x$, где $z > 0$.
Уравнение примет вид:
$z^2 - 26z + 25 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 26, а их произведение равно 25. Легко подобрать корни:
$z_1 = 1$
$z_2 = 25$
Оба корня положительны, поэтому подходят под условие $z > 0$.
Вернемся к замене $z = 5^x$.
1) $5^x = z_1 = 1$. Так как $1 = 5^0$, то $x = 0$.
2) $5^x = z_2 = 25$. Так как $25 = 5^2$, то $x = 2$.
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $x = 0; x = 2$

1) Дана система уравнений:

$\begin{cases}5^x + 5^y = 30 \\5^x - 5^y = 20\end{cases}$

Эта система является линейной относительно выражений $5^x$ и $5^y$. Решим ее методом алгебраического сложения. Сложим почленно первое и второе уравнения:

$(5^x + 5^y) + (5^x - 5^y) = 30 + 20$

$2 \cdot 5^x = 50$

Разделим обе части уравнения на 2:

$5^x = 25$

Так как $25 = 5^2$, получаем показательное уравнение:

$5^x = 5^2$

Из равенства оснований следует равенство показателей, поэтому $x = 2$.

Теперь вычтем почленно второе уравнение из первого:

$(5^x + 5^y) - (5^x - 5^y) = 30 - 20$

$5^x + 5^y - 5^x + 5^y = 10$

$2 \cdot 5^y = 10$

Разделим обе части на 2:

$5^y = 5$

Так как $5 = 5^1$, получаем:

$5^y = 5^1$

Отсюда $y = 1$.

Таким образом, решение системы — пара чисел $(2; 1)$.

Выполним проверку:

$\begin{cases}5^2 + 5^1 = 25 + 5 = 30 \\5^2 - 5^1 = 25 - 5 = 20\end{cases}$

$\begin{cases}30 = 30 \\20 = 20\end{cases}$

Решение найдено верно.

Ответ: $(2; 1)$

2) Дана система уравнений:

$\begin{cases}2^x + 2^y = 12 \\x - y = 1\end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = y + 1$

Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$2^{y+1} + 2^y = 12$

Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем первое слагаемое:

$2^y \cdot 2^1 + 2^y = 12$

$2 \cdot 2^y + 1 \cdot 2^y = 12$

Вынесем общий множитель $2^y$ за скобки:

$2^y(2 + 1) = 12$

$3 \cdot 2^y = 12$

Разделим обе части уравнения на 3:

$2^y = 4$

Представим число 4 в виде степени с основанием 2:

$2^y = 2^2$

Отсюда находим, что $y = 2$.

Теперь найдем $x$, подставив значение $y=2$ в выражение $x = y + 1$:

$x = 2 + 1 = 3$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(3; 2)$.

Выполним проверку:

$\begin{cases}2^3 + 2^2 = 8 + 4 = 12 \\3 - 2 = 1\end{cases}$

$\begin{cases}12 = 12 \\1 = 1\end{cases}$

Решение найдено верно.

Ответ: $(3; 2)$

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3 \cdot 2^x + 2 \cdot 3^y = 12, \\ 2^x - 3^y = -1. \end{cases}$

Для решения этой системы введем замену переменных. Пусть $a = 2^x$ и $b = 3^y$. Так как значения показательных функций всегда положительны, то $a > 0$ и $b > 0$.

После замены система примет вид системы линейных уравнений:

$\begin{cases} 3a + 2b = 12, \\ a - b = -1. \end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $a$:

$a = b - 1$

Подставим это выражение для $a$ в первое уравнение системы:

$3(b - 1) + 2b = 12$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $b$:

$3b - 3 + 2b = 12$

$5b = 15$

$b = 3$

Теперь найдем $a$, подставив значение $b$ в выражение $a = b - 1$:

$a = 3 - 1 = 2$

Мы получили $a = 2$ и $b = 3$. Оба значения удовлетворяют условиям $a > 0$ и $b > 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:

$2^x = a \implies 2^x = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x = 1$.

$3^y = b \implies 3^y = 3 \implies 3^y = 3^1 \implies y = 1$.

Проверим найденное решение $(1, 1)$, подставив его в исходную систему:

$\begin{cases} 3 \cdot 2^1 + 2 \cdot 3^1 = 3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 6 + 6 = 12 \\ 2^1 - 3^1 = 2 - 3 = -1 \end{cases}$

Оба равенства верны, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $(1, 1)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2^x \cdot 4^y = 32, \\ x - y = 2. \end{cases}$

Преобразуем первое уравнение системы, приведя все степени к одному основанию 2. Известно, что $4 = 2^2$ и $32 = 2^5$.

Подставим эти значения в первое уравнение:

$2^x \cdot (2^2)^y = 2^5$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$2^x \cdot 2^{2y} = 2^5$

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^{x+2y} = 2^5$

Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:

$x + 2y = 5$

Теперь исходная система эквивалентна системе линейных уравнений:

$\begin{cases} x + 2y = 5, \\ x - y = 2. \end{cases}$

Решим эту систему методом вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:

$(x + 2y) - (x - y) = 5 - 2$

$x + 2y - x + y = 3$

$3y = 3$

$y = 1$

Подставим найденное значение $y=1$ во второе уравнение $x - y = 2$, чтобы найти $x$:

$x - 1 = 2$

$x = 3$

Проверим найденное решение $(3, 1)$, подставив его в исходную систему:

$\begin{cases} 2^3 \cdot 4^1 = 8 \cdot 4 = 32 \\ 3 - 1 = 2 \end{cases}$

Оба равенства верны, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $(3, 1)$.

1) Дано показательное уравнение $(0,1)^{4x^2 - 2x - 2} = (0,1)^{2x - 3}$.
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$4x^2 - 2x - 2 = 2x - 3$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$4x^2 - 2x - 2 - 2x + 3 = 0$
$4x^2 - 4x + 1 = 0$
Это уравнение является полным квадратом:
$(2x - 1)^2 = 0$
Отсюда следует, что:
$2x - 1 = 0$
$2x = 1$
$x = \frac{1}{2} = 0,5$
Ответ: $0,5$.

2) Дано уравнение $(0,3)^{x^2 - 2x + 2} = 0,09$.
Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 0,3:
$0,09 = (0,3)^2$
Тогда уравнение примет вид:
$(0,3)^{x^2 - 2x + 2} = (0,3)^2$
Приравняем показатели степеней:
$x^2 - 2x + 2 = 2$
$x^2 - 2x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x - 2) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Получаем два корня:
$x_1 = 0$
$x_2 - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$
Ответ: $0; 2$.

3) Дано уравнение $2^{x+2} - 2^{x+3} - 2^{x+4} = 5^{x+1} - 5^{x+2}$.
Упростим левую и правую части уравнения, используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.
Левая часть:
$2^x \cdot 2^2 - 2^x \cdot 2^3 - 2^x \cdot 2^4 = 2^x(4 - 8 - 16) = 2^x(-20) = -20 \cdot 2^x$
Правая часть:
$5^x \cdot 5^1 - 5^x \cdot 5^2 = 5^x(5 - 25) = 5^x(-20) = -20 \cdot 5^x$
Приравняем упрощенные части:
$-20 \cdot 2^x = -20 \cdot 5^x$
Разделим обе части на -20:
$2^x = 5^x$
Разделим обе части на $5^x$ (так как $5^x \neq 0$):
$\frac{2^x}{5^x} = 1$
$(\frac{2}{5})^x = 1$
Любое число в степени 0 равно 1, поэтому:
$x = 0$
Ответ: $0$.

4) Дано уравнение $3^{x+2} - 7^{x+2} = 0$.
Перенесем одно из слагаемых в правую часть:
$3^{x+2} = 7^{x+2}$
Разделим обе части уравнения на $7^{x+2}$ (так как $7^{x+2} \neq 0$):
$\frac{3^{x+2}}{7^{x+2}} = 1$
$(\frac{3}{7})^{x+2} = 1$
Так как любое число в степени 0 равно 1, получаем:
$x + 2 = 0$
$x = -2$
Ответ: $-2$.

1) $(0,25)^{x^2-4} = 2^{x^2-1}$

Для решения данного показательного уравнения необходимо привести обе части к одному основанию. Заметим, что $0,25 = \frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2 = 2^{-2}$.

Подставим это в исходное уравнение:

$(2^{-2})^{x^2-4} = 2^{x^2-1}$

Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$2^{-2(x^2-4)} = 2^{x^2-1}$

$2^{-2x^2+8} = 2^{x^2-1}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$-2x^2+8 = x^2-1$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 2x^2 - 1 - 8 = 0$

$3x^2 - 9 = 0$

$3x^2 = 9$

$x^2 = 3$

$x = \pm\sqrt{3}$

Ответ: $x_1 = \sqrt{3}, x_2 = -\sqrt{3}$.

2) $27^{-1} \cdot 9^{2x} = 243$

Приведем все числа в уравнении к основанию 3. Мы знаем, что $27 = 3^3$, $9 = 3^2$, и $243 = 3^5$.

Подставим эти значения в уравнение:

$(3^3)^{-1} \cdot (3^2)^{2x} = 3^5$

Используем свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$3^{-3} \cdot 3^{4x} = 3^5$

$3^{-3+4x} = 3^5$

Поскольку основания равны, приравниваем показатели степеней:

$-3+4x = 5$

$4x = 5 + 3$

$4x = 8$

$x = 2$

Ответ: $x = 2$.

3) $\sqrt[4]{5} \cdot 5^{3x} = 125$

Приведем все члены уравнения к основанию 5. Представим корень и число 125 в виде степени с основанием 5: $\sqrt[4]{5} = 5^{1/4}$ и $125 = 5^3$.

Подставим в уравнение:

$5^{1/4} \cdot 5^{3x} = 5^3$

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$5^{\frac{1}{4} + 3x} = 5^3$

Приравниваем показатели степеней:

$\frac{1}{4} + 3x = 3$

$3x = 3 - \frac{1}{4}$

$3x = \frac{12}{4} - \frac{1}{4}$

$3x = \frac{11}{4}$

$x = \frac{11}{4 \cdot 3}$

$x = \frac{11}{12}$

Ответ: $x = \frac{11}{12}$.

4) $6^{x+1} \cdot \sqrt[3]{6} = 216$

Приведем все члены уравнения к основанию 6. Мы знаем, что $\sqrt[3]{6} = 6^{1/3}$ и $216 = 6^3$.

Подставим эти значения в уравнение:

$6^{x+1} \cdot 6^{1/3} = 6^3$

Применяем свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$6^{(x+1) + \frac{1}{3}} = 6^3$

$6^{x + \frac{3}{3} + \frac{1}{3}} = 6^3$

$6^{x + \frac{4}{3}} = 6^3$

Приравниваем показатели степеней:

$x + \frac{4}{3} = 3$

$x = 3 - \frac{4}{3}$

$x = \frac{9}{3} - \frac{4}{3}$

$x = \frac{5}{3}$

Ответ: $x = \frac{5}{3}$.