Вопросы, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Көрсеткіштік теңдеуді бірдей негізге келтіру тәсілі көрсеткіштік функцияның монотондылығына негізделген. Егер негіз $a$ оң және бірге тең болмаса ($a > 0, a \neq 1$), онда $y = a^x$ функциясы қатаң монотонды болады (егер $a > 1$ болса, өспелі; егер $0 < a < 1$ болса, кемімелі). Бұл дегеніміз, аргументтің әр түрлі мәніне функцияның әр түрлі мәні сәйкес келеді. Сондықтан, егер екі дәреженің негіздері бірдей және мәндері тең болса, онда олардың дәреже көрсеткіштері де тең болуы керек. Яғни, $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ теңдеуі $f(x) = g(x)$ теңдеуіне мәндес болады.
Ответ: Бұл тәсіл негіздері бірдей екі дәреженің теңдігінен олардың дәреже көрсеткіштерінің теңдігі шығатынына, яғни $a > 0, a \neq 1$ болғанда $a^x = a^y \iff x = y$ қасиетіне негізделген.

2. Жоқ, көрсеткіштік теңдеуді әр уақытта бірдей негізге келтіру тәсілімен шығару мүмкін емес. Бұл тәсілді тек теңдеудің екі жағындағы өрнектерді де бірдей негіздің дәрежесі түрінде оңай өрнектеуге болатын жағдайларда ғана қолдануға болады. Мысалы, $2^x = 3$ теңдеуінде 3 санын 2 негізінің рационал дәрежесі түрінде өрнектеу мүмкін емес. Сол сияқты, $2^x + 3^x = 17$ немесе $4^x - 2^x - 6 = 0$ сияқты теңдеулерді бұл тәсілмен шығаруға болмайды. Мұндай жағдайларда басқа тәсілдер қолданылады: логарифмдеу, жаңа айнымалы енгізу, графикалық тәсіл және т.б.
Ответ: Жоқ, себебі теңдеудің екі жағын да бірдей негізге келтіру әрдайым мүмкін бола бермейді.

3. Иә, бұл тұжырым дұрыс (егер сұрақта «нақты $x$ түбірі» деп тұрса). Егер $a > 0, a \neq 1$ және $p$ – кез келген оң сан болса, онда $a^x = p$ теңдеуінің әрқашан бір ғана нақты шешімі болады. Бұл $y = a^x$ көрсеткіштік функциясының қасиеттеріне байланысты. Бұл функцияның анықталу облысы барлық нақты сандар жиыны ($D(y) = (-\infty, +\infty)$), ал мәндер жиыны барлық оң сандар жиыны ($E(y) = (0, +\infty)$). Функция қатаң монотонды болғандықтан, $y = p$ түзуі ($p > 0$ болғанда) $y = a^x$ функциясының графигін тек бір ғана нүктеде қиып өтеді. Осы қиылысу нүктесінің абсциссасы теңдеудің жалғыз шешімі болып табылады және ол $x = \log_a p$ формуласымен анықталады.
Мысал 1 (рационал түбір): $3^x = 81$. Мұнда $a = 3 > 0, a \neq 1$ және $p = 81 > 0$. Теңдеудің жалғыз шешімі бар: $x = \log_3 81 = 4$.
Мысал 2 (иррационал түбір): $5^x = 10$. Мұнда $a = 5 > 0, a \neq 1$ және $p = 10 > 0$. Теңдеудің жалғыз шешімі бар: $x = \log_5 10$. Бұл сан иррационал.
Ответ: Иә, тұжырым дұрыс. Себебі $y=a^x$ ($a>0, a\neq1$) функциясының мәндер жиыны барлық оң сандар және ол қатаң монотонды, сондықтан кез келген $p > 0$ үшін $a^x=p$ теңдеуінің жалғыз нақты $x = \log_a p$ түбірі болады.

4. Иә, бұл тұжырыммен толық келісемін. Математикада дәреженің қасиеттері алдымен натурал көрсеткіштер үшін анықталып, дәлелденеді. Кейін бұл ұғым бүтін, рационал және соңында нақты көрсеткіштер үшін кеңейтіледі. Бұл кеңейтудің негізгі мақсаты – дәреженің бастапқыда натурал көрсеткіштер үшін орнатылған қасиеттерін сақтап қалу. Сондықтан, $x$ кез келген нақты сан болғанда да, $a^x$ ($a>0$) өрнегіне бүтін оң көрсеткішті дәрежеге қолданылатын барлық негізгі ережелер орындалады:
1) $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$
2) $a^x : a^y = a^{x-y}$
3) $(a^x)^y = a^{xy}$
4) $(ab)^x = a^x b^x$
5) $(\frac{a}{b})^x = \frac{a^x}{b^x}$
Бұл қасиеттердің сақталуы кез келген нақты көрсеткішті дәрежелермен алгебралық түрлендірулерді бірізді және жүйелі түрде орындауға мүмкіндік береді.
Ответ: Иә, келісемін, себебі нақты көрсеткішті дәреже ұғымы бүтін оң көрсеткішті дәреженің қасиеттері сақталатындай етіп енгізілген.

5. Көрсеткіштік теңдеуді жаңа айнымалы енгізу арқылы шығару тәсілінің мәні – күрделі теңдеуді қарапайым алгебралық (мысалы, сызықтық, квадраттық, бөлшек-рационал) теңдеуге келтіру арқылы оны шешуді жеңілдету. Бұл әдіс әдетте теңдеуде бірдей көрсеткіштік өрнек бірнеше рет кездескенде қолданылады.
Тәсілдің негізгі қадамдары:
1. Теңдеудегі қайталанып тұрған көрсеткіштік өрнекті (мысалы, $a^{f(x)}$) анықтау.
2. Сол өрнекті жаңа айнымалымен (мысалы, $t$) алмастыру: $t = a^{f(x)}$. Көрсеткіштік функцияның мәні әрдайым оң болғандықтан, $t > 0$ шартын ескеру қажет.
3. Алмастыру нәтижесінде $t$ айнымалысына қатысты жаңа, әдетте анағұрлым қарапайым теңдеу алу.
4. Осы жаңа теңдеуді шешіп, $t$-ның мәндерін табу.
5. Табылған $t$-ның мәндерінің ішінен $t > 0$ шартын қанағаттандырмайтындарын алып тастау.
6. Әрбір жарамды $t_i$ мәні үшін $a^{f(x)} = t_i$ қарапайым көрсеткіштік теңдеуін шешіп, бастапқы $x$ айнымалысын табу.
Мысалы, $A \cdot a^{2x} + B \cdot a^x + C = 0$ түріндегі теңдеу $t=a^x$ ($t>0$) алмастыруы арқылы $At^2+Bt+C=0$ квадраттық теңдеуіне келтіріледі.
Ответ: Бұл тәсілдің мәні – көрсеткіштік өрнекті жаңа айнымалымен алмастыру арқылы күрделі көрсеткіштік теңдеудің құрылымын жеңілдетіп, оны шешуге ыңғайлы алгебралық теңдеуге келтіру.