Номер 264, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дана система уравнений:

$\begin{cases}5^x + 5^y = 30 \\5^x - 5^y = 20\end{cases}$

Эта система является линейной относительно выражений $5^x$ и $5^y$. Решим ее методом алгебраического сложения. Сложим почленно первое и второе уравнения:

$(5^x + 5^y) + (5^x - 5^y) = 30 + 20$

$2 \cdot 5^x = 50$

Разделим обе части уравнения на 2:

$5^x = 25$

Так как $25 = 5^2$, получаем показательное уравнение:

$5^x = 5^2$

Из равенства оснований следует равенство показателей, поэтому $x = 2$.

Теперь вычтем почленно второе уравнение из первого:

$(5^x + 5^y) - (5^x - 5^y) = 30 - 20$

$5^x + 5^y - 5^x + 5^y = 10$

$2 \cdot 5^y = 10$

Разделим обе части на 2:

$5^y = 5$

Так как $5 = 5^1$, получаем:

$5^y = 5^1$

Отсюда $y = 1$.

Таким образом, решение системы — пара чисел $(2; 1)$.

Выполним проверку:

$\begin{cases}5^2 + 5^1 = 25 + 5 = 30 \\5^2 - 5^1 = 25 - 5 = 20\end{cases}$

$\begin{cases}30 = 30 \\20 = 20\end{cases}$

Решение найдено верно.

Ответ: $(2; 1)$

2) Дана система уравнений:

$\begin{cases}2^x + 2^y = 12 \\x - y = 1\end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = y + 1$

Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$2^{y+1} + 2^y = 12$

Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем первое слагаемое:

$2^y \cdot 2^1 + 2^y = 12$

$2 \cdot 2^y + 1 \cdot 2^y = 12$

Вынесем общий множитель $2^y$ за скобки:

$2^y(2 + 1) = 12$

$3 \cdot 2^y = 12$

Разделим обе части уравнения на 3:

$2^y = 4$

Представим число 4 в виде степени с основанием 2:

$2^y = 2^2$

Отсюда находим, что $y = 2$.

Теперь найдем $x$, подставив значение $y=2$ в выражение $x = y + 1$:

$x = 2 + 1 = 3$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(3; 2)$.

Выполним проверку:

$\begin{cases}2^3 + 2^2 = 8 + 4 = 12 \\3 - 2 = 1\end{cases}$

$\begin{cases}12 = 12 \\1 = 1\end{cases}$

Решение найдено верно.

Ответ: $(3; 2)$