Номер 268, страница 135 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $x^2 \cdot 3^x - 3^{x+1} = 0$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы переписать второй член уравнения:

$3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$

Подставим это обратно в исходное уравнение:

$x^2 \cdot 3^x - 3 \cdot 3^x = 0$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x(x^2 - 3) = 0$

Поскольку показательная функция $3^x$ всегда положительна ($3^x > 0$) при любом действительном $x$, то равенство нулю возможно только если выражение в скобках равно нулю:

$x^2 - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 = 3$

$x = \pm\sqrt{3}$

Ответ: $x_1 = -\sqrt{3}, x_2 = \sqrt{3}$.

2) $x^2 \cdot 5^x - 5^{2+x} = 0$

Перепишем уравнение, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$5^{2+x} = 5^2 \cdot 5^x = 25 \cdot 5^x$

Подставим это в уравнение:

$x^2 \cdot 5^x - 25 \cdot 5^x = 0$

Вынесем общий множитель $5^x$ за скобки:

$5^x(x^2 - 25) = 0$

Так как $5^x > 0$ для всех действительных $x$, приравниваем выражение в скобках к нулю:

$x^2 - 25 = 0$

Решаем это квадратное уравнение:

$x^2 = 25$

$x = \pm\sqrt{25}$

$x = \pm 5$

Ответ: $x_1 = -5, x_2 = 5$.

3) $x^3 \cdot 3^x + 3^{x+3} = 0$

Используя свойство степеней, преобразуем второй член:

$3^{x+3} = 3^x \cdot 3^3 = 27 \cdot 3^x$

Уравнение принимает вид:

$x^3 \cdot 3^x + 27 \cdot 3^x = 0$

Выносим за скобки общий множитель $3^x$:

$3^x(x^3 + 27) = 0$

Так как $3^x$ никогда не равно нулю, то:

$x^3 + 27 = 0$

Решаем полученное кубическое уравнение:

$x^3 = -27$

$x = \sqrt[3]{-27}$

$x = -3$

Ответ: $x = -3$.

4) $x^3 \cdot 8^x - 8^{x+1} = 0$

Преобразуем уравнение с помощью свойства степеней:

$8^{x+1} = 8^x \cdot 8^1 = 8 \cdot 8^x$

Подставим в исходное уравнение:

$x^3 \cdot 8^x - 8 \cdot 8^x = 0$

Выносим общий множитель $8^x$ за скобки:

$8^x(x^3 - 8) = 0$

Поскольку $8^x > 0$ для любого действительного $x$, то:

$x^3 - 8 = 0$

Решаем кубическое уравнение:

$x^3 = 8$

$x = \sqrt[3]{8}$

$x = 2$

Ответ: $x = 2$.