Номер 272, страница 135 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Исходное уравнение: $8^x + 3 \cdot 4^x = 12 + 2^{x+2}$. Приведем все степени к основанию 2, так как $8 = 2^3$ и $4 = 2^2$. Уравнение принимает вид: $(2^3)^x + 3 \cdot (2^2)^x = 12 + 2^x \cdot 2^2$. Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $2^{3x} + 3 \cdot 2^{2x} = 12 + 4 \cdot 2^x$. Перенесем все члены в левую часть: $2^{3x} + 3 \cdot 2^{2x} - 4 \cdot 2^x - 12 = 0$. Введем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $2^x$ всегда положительна, то $t > 0$. После замены уравнение становится кубическим относительно $t$: $t^3 + 3t^2 - 4t - 12 = 0$. Разложим левую часть на множители методом группировки: $t^2(t + 3) - 4(t + 3) = 0$. $(t^2 - 4)(t + 3) = 0$. $(t - 2)(t + 2)(t + 3) = 0$. Корни этого уравнения: $t_1 = 2$, $t_2 = -2$, $t_3 = -3$. Теперь вернемся к замене $t = 2^x$ и учтем условие $t > 0$. - Если $t = 2$, то $2^x = 2$, откуда $x = 1$. - Если $t = -2$, то $2^x = -2$. Это уравнение не имеет действительных решений. - Если $t = -3$, то $2^x = -3$. Это уравнение также не имеет действительных решений. Таким образом, единственным решением является $x=1$. Ответ: $x = 1$.

2) Исходное уравнение: $3^{1+3x} - 9^x = 3^{x+2} - 3$. Приведем все степени к основанию 3, так как $9 = 3^2$. $3^1 \cdot 3^{3x} - (3^2)^x = 3^x \cdot 3^2 - 3$. $3 \cdot 3^{3x} - 3^{2x} = 9 \cdot 3^x - 3$. Перенесем все члены в левую часть: $3 \cdot 3^{3x} - 3^{2x} - 9 \cdot 3^x + 3 = 0$. Сделаем замену. Пусть $y = 3^x$, где $y > 0$. Уравнение принимает вид: $3y^3 - y^2 - 9y + 3 = 0$. Разложим на множители левую часть методом группировки: $y^2(3y - 1) - 3(3y - 1) = 0$. $(y^2 - 3)(3y - 1) = 0$. Отсюда получаем два случая: 1. $y^2 - 3 = 0 \implies y^2 = 3 \implies y = \sqrt{3}$ или $y = -\sqrt{3}$. 2. $3y - 1 = 0 \implies 3y = 1 \implies y = 1/3$. Вернемся к переменной $x$, учитывая, что $y > 0$: - $y = \sqrt{3} \implies 3^x = \sqrt{3} \implies 3^x = 3^{1/2} \implies x = 1/2$. - $y = -\sqrt{3}$ не является решением, так как $y$ должно быть положительным. - $y = 1/3 \implies 3^x = 1/3 \implies 3^x = 3^{-1} \implies x = -1$. Уравнение имеет два корня. Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 1/2$.

3) Исходное уравнение: $16^x + 8^x - 4 \cdot 4^x + 2^{x+1} + 1 = 0$. Приведем все степени к основанию 2: $16=2^4, 8=2^3, 4=2^2$. $(2^4)^x + (2^3)^x - 4 \cdot (2^2)^x + 2 \cdot 2^x + 1 = 0$. $2^{4x} + 2^{3x} - 4 \cdot 2^{2x} + 2 \cdot 2^x + 1 = 0$. Сделаем замену $t = 2^x$, где $t > 0$. $t^4 + t^3 - 4t^2 + 2t + 1 = 0$. Уравнение в таком виде не имеет простых рациональных корней. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Если предположить, что вместо $2^{x+1}$ должно быть $2^x$, то уравнение становится решаемым в целых числах. Решим исправленное уравнение: $16^x + 8^x - 4 \cdot 4^x + 2^x + 1 = 0$. В переменных $t$ оно выглядит так: $t^4 + t^3 - 4t^2 + t + 1 = 0$. Проверим $t=1$: $1^4 + 1^3 - 4(1)^2 + 1 + 1 = 1 + 1 - 4 + 1 + 1 = 0$. Значит, $t=1$ — корень. Разделим многочлен на $(t-1)$, например, по схеме Горнера: $(t-1)(t^3 + 2t^2 - 2t - 1) = 0$. Решаем кубическое уравнение $t^3 + 2t^2 - 2t - 1 = 0$. Проверим снова $t=1$: $1^3 + 2(1)^2 - 2(1) - 1 = 1 + 2 - 2 - 1 = 0$. Значит, $t=1$ — корень кратности как минимум 2. Разделим $t^3 + 2t^2 - 2t - 1$ на $(t-1)$: $(t-1)(t^2 + 3t + 1) = 0$. Полное разложение: $(t-1)^2(t^2 + 3t + 1) = 0$. Оставшееся квадратное уравнение $t^2 + 3t + 1 = 0$ имеет корни $t = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$. Оба эти корня отрицательны, поэтому они не удовлетворяют условию $t > 0$. Единственным подходящим решением для $t$ является $t=1$. Возвращаемся к замене: $2^x = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x = 0$. Ответ: при предположении опечатки в условии ($2^x$ вместо $2^{x+1}$), $x = 0$.

4) Исходное уравнение: $3 \cdot 8^x + 4 \cdot 12^x - 18^x - 2 \cdot 27^x = 0$. Запишем основания степеней через их простые множители 2 и 3: $8=2^3, 12=2^2 \cdot 3, 18=2 \cdot 3^2, 27=3^3$. $3 \cdot (2^3)^x + 4 \cdot (2^2 \cdot 3)^x - (2 \cdot 3^2)^x - 2 \cdot (3^3)^x = 0$. $3 \cdot 2^{3x} + 4 \cdot (2^{2x} \cdot 3^x) - (2^x \cdot 3^{2x}) - 2 \cdot 3^{3x} = 0$. Это однородное показательное уравнение. Разделим обе части уравнения на $3^{3x}$ (это выражение не равно нулю ни при каком $x$): $3 \cdot \frac{2^{3x}}{3^{3x}} + 4 \cdot \frac{2^{2x}3^x}{3^{3x}} - \frac{2^x3^{2x}}{3^{3x}} - 2 \cdot \frac{3^{3x}}{3^{3x}} = 0$. $3 \left(\frac{2}{3}\right)^{3x} + 4 \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} - \left(\frac{2}{3}\right)^x - 2 = 0$. Сделаем замену $t = \left(\frac{2}{3}\right)^x$. Так как основание степени положительно, то $t > 0$. Получаем кубическое уравнение: $3t^3 + 4t^2 - t - 2 = 0$. Найдем корни этого уравнения. Возможные рациональные корни по теореме о рациональных корнях: $\pm 1, \pm 2, \pm 1/3, \pm 2/3$. Подставим $t = 2/3$: $3(\frac{8}{27}) + 4(\frac{4}{9}) - \frac{2}{3} - 2 = \frac{8}{9} + \frac{16}{9} - \frac{6}{9} - \frac{18}{9} = \frac{24-24}{9} = 0$. Значит, $t=2/3$ — корень. Подставим $t = -1$: $3(-1)^3 + 4(-1)^2 - (-1) - 2 = -3 + 4 + 1 - 2 = 0$. Значит, $t=-1$ — корень. Зная два корня, можем разложить многочлен на множители: $(t - 2/3)(t+1) = (3t-2)/3 \cdot (t+1)$. Значит, многочлен делится на $(3t-2)(t+1) = 3t^2 + t - 2$. Выполнив деление, получаем: $(3t^3 + 4t^2 - t - 2) : (3t^2 + t - 2) = t+1$. Таким образом, уравнение можно записать в виде $(3t-2)(t+1)^2=0$. Корни уравнения: $t_1 = 2/3$ и $t_2 = -1$. Учитывая условие $t > 0$, подходит только корень $t = 2/3$. Вернемся к замене: $\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{2}{3}$, откуда $x=1$. Ответ: $x = 1$.