Номер 278, страница 139 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дано неравенство $5^{x-1} < 25$.
Представим правую часть в виде степени с основанием 5: $25 = 5^2$.
Получаем неравенство: $5^{x-1} < 5^2$.
Так как основание степени $5 > 1$, то показательная функция возрастает. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$x - 1 < 2$
$x < 2 + 1$
$x < 3$
Наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому неравенству, является 2.
Ответ: 2

2) Дано неравенство $3^{3-x} \ge 9$.
Представим правую часть в виде степени с основанием 3: $9 = 3^2$.
Получаем неравенство: $3^{3-x} \ge 3^2$.
Так как основание степени $3 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:
$3 - x \ge 2$
$-x \ge 2 - 3$
$-x \ge -1$
Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства на противоположный:
$x \le 1$
Наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому неравенству, является 1.
Ответ: 1

3) Дано неравенство $6^{2x} \le \frac{1}{36}$.
Представим правую часть в виде степени с основанием 6: $\frac{1}{36} = \frac{1}{6^2} = 6^{-2}$.
Получаем неравенство: $6^{2x} \le 6^{-2}$.
Так как основание степени $6 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:
$2x \le -2$
$x \le -1$
Наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому неравенству, является -1.
Ответ: -1

4) Дано неравенство $(\frac{1}{2})^{2x-2} \ge 4$.
Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$: $4 = 2^2 = ((\frac{1}{2})^{-1})^2 = (\frac{1}{2})^{-2}$.
Получаем неравенство: $(\frac{1}{2})^{2x-2} \ge (\frac{1}{2})^{-2}$.
Так как основание степени $0 < \frac{1}{2} < 1$, то показательная функция убывает. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$2x - 2 \le -2$
$2x \le -2 + 2$
$2x \le 0$
$x \le 0$
Наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому неравенству, является 0.
Ответ: 0

5) Дано неравенство $(\frac{1}{3})^{5-3x} \le 81$.
Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{1}{3}$: $81 = 3^4 = ((\frac{1}{3})^{-1})^4 = (\frac{1}{3})^{-4}$.
Получаем неравенство: $(\frac{1}{3})^{5-3x} \le (\frac{1}{3})^{-4}$.
Так как основание степени $0 < \frac{1}{3} < 1$, знак неравенства для показателей меняется на противоположный:
$5 - 3x \ge -4$
$-3x \ge -4 - 5$
$-3x \ge -9$
Разделим обе части на -3 и сменим знак неравенства:
$x \le 3$
Наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому неравенству, является 3.
Ответ: 3

6) Дано неравенство $(\frac{1}{2})^{2x-3} > (\frac{1}{2})^2$.
Обе части неравенства имеют одинаковое основание $\frac{1}{2}$.
Так как основание степени $0 < \frac{1}{2} < 1$, знак неравенства для показателей меняется на противоположный:
$2x - 3 < 2$
$2x < 2 + 3$
$2x < 5$
$x < 2.5$
Наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому неравенству, является 2.
Ответ: 2