Номер 284, страница 139 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 7^{\frac{x-5}{2}} \le 7\sqrt{7} \\ (\frac{3}{2})^{2x-3} < 3\frac{3}{8} \end{cases} $
Сначала решим первое неравенство: $7^{\frac{x-5}{2}} \le 7\sqrt{7}$.
Представим правую часть в виде степени с основанием 7. Мы знаем, что $7\sqrt{7} = 7^1 \cdot 7^{\frac{1}{2}} = 7^{1 + \frac{1}{2}} = 7^{\frac{3}{2}}$.
Таким образом, неравенство принимает вид: $7^{\frac{x-5}{2}} \le 7^{\frac{3}{2}}$.
Так как основание степени $7 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$\frac{x-5}{2} \le \frac{3}{2}$
Умножим обе части на 2:
$x-5 \le 3$
$x \le 8$.
Теперь решим второе неравенство: $(\frac{3}{2})^{2x-3} < 3\frac{3}{8}$.
Преобразуем смешанную дробь $3\frac{3}{8}$ в неправильную: $3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$.
Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{3}{2}$: $\frac{27}{8} = \frac{3^3}{2^3} = (\frac{3}{2})^3$.
Неравенство принимает вид: $(\frac{3}{2})^{2x-3} < (\frac{3}{2})^3$.
Так как основание степени $\frac{3}{2} > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется:
$2x-3 < 3$
$2x < 6$
$x < 3$.
Решением системы является пересечение решений обоих неравенств. Нам нужно найти значения $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $x \le 8$ и $x < 3$.
Пересечением этих двух множеств является интервал $(-\infty; 3)$.
Ответ: $(-\infty; 3)$.

2) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} (\frac{3}{5})^{x^2+5x} > 1 \\ (\frac{1}{3})^{x^2-2x-2} < 27 \end{cases} $
Решим первое неравенство: $(\frac{3}{5})^{x^2+5x} > 1$.
Представим 1 как степень с основанием $\frac{3}{5}$: $1 = (\frac{3}{5})^0$.
Неравенство принимает вид: $(\frac{3}{5})^{x^2+5x} > (\frac{3}{5})^0$.
Так как основание степени $0 < \frac{3}{5} < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$x^2 + 5x < 0$
Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $x^2 + 5x = 0$:
$x(x+5) = 0$, откуда $x_1 = 0$, $x_2 = -5$.
Парабола $y = x^2 + 5x$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 + 5x < 0$ выполняется между корнями.
Решением является интервал $-5 < x < 0$.
Решим второе неравенство: $(\frac{1}{3})^{x^2-2x-2} < 27$.
Приведем обе части неравенства к основанию 3. Мы знаем, что $\frac{1}{3} = 3^{-1}$ и $27 = 3^3$.
$(3^{-1})^{x^2-2x-2} < 3^3$
$3^{-(x^2-2x-2)} < 3^3$
$3^{-x^2+2x+2} < 3^3$
Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется:
$-x^2+2x+2 < 3$
$-x^2+2x-1 < 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x^2-2x+1 > 0$
Свернем левую часть по формуле квадрата разности:
$(x-1)^2 > 0$
Квадрат любого действительного числа неотрицателен. Выражение $(x-1)^2$ равно нулю при $x=1$ и строго положительно при всех остальных значениях $x$.
Следовательно, решением является $x \neq 1$.
Найдем пересечение решений двух неравенств: $(-5; 0)$ и $x \neq 1$.
Интервал $(-5; 0)$ не содержит точку $x=1$, поэтому все точки из этого интервала удовлетворяют второму условию.
Пересечением является сам интервал $(-5; 0)$.
Ответ: $(-5; 0)$.