Номер 287, страница 140 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $2^{x+3} + 3 \cdot 5^x < 3 \cdot 2^x + 5^{x+1}$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и преобразуем неравенство:
$2^x \cdot 2^3 + 3 \cdot 5^x < 3 \cdot 2^x + 5^x \cdot 5^1$
$8 \cdot 2^x + 3 \cdot 5^x < 3 \cdot 2^x + 5 \cdot 5^x$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями. Перенесем все члены с $2^x$ в левую часть, а с $5^x$ в правую:
$8 \cdot 2^x - 3 \cdot 2^x < 5 \cdot 5^x - 3 \cdot 5^x$
$5 \cdot 2^x < 2 \cdot 5^x$

Разделим обе части неравенства на $5 \cdot 5^x$. Так как $5 \cdot 5^x > 0$ для любого $x$, знак неравенства не изменится:
$\frac{5 \cdot 2^x}{5 \cdot 5^x} < \frac{2 \cdot 5^x}{5 \cdot 5^x}$
$\frac{2^x}{5^x} < \frac{2}{5}$
$(\frac{2}{5})^x < (\frac{2}{5})^1$

Так как основание степени $a = \frac{2}{5}$ и $0 < a < 1$, показательная функция $y = (\frac{2}{5})^x$ является убывающей. Поэтому при сравнении показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$x > 1$

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

2) $2^{2x+1} - 3^{2x+1} < 3^{2x} - 7 \cdot 2^{2x}$

Преобразуем степени в неравенстве:
$2^{2x} \cdot 2^1 - 3^{2x} \cdot 3^1 < 3^{2x} - 7 \cdot 2^{2x}$
$2 \cdot 2^{2x} - 3 \cdot 3^{2x} < 3^{2x} - 7 \cdot 2^{2x}$

Сгруппируем слагаемые с $2^{2x}$ в левой части, а с $3^{2x}$ в правой:
$2 \cdot 2^{2x} + 7 \cdot 2^{2x} < 3^{2x} + 3 \cdot 3^{2x}$
$9 \cdot 2^{2x} < 4 \cdot 3^{2x}$

Разделим обе части на $9 \cdot 3^{2x}$ (это выражение всегда положительно):
$\frac{9 \cdot 2^{2x}}{9 \cdot 3^{2x}} < \frac{4 \cdot 3^{2x}}{9 \cdot 3^{2x}}$
$(\frac{2}{3})^{2x} < \frac{4}{9}$

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{2}{3}$:
$(\frac{2}{3})^{2x} < (\frac{2}{3})^2$

Так как основание $a = \frac{2}{3}$ и $0 < a < 1$, функция является убывающей, поэтому знак неравенства для показателей меняется на противоположный:
$2x > 2$
$x > 1$

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

3) $5^{x+1} - 3^{x+2} > 2 \cdot 5^x - 2 \cdot 3^{x-1}$

Преобразуем степени в неравенстве:
$5^x \cdot 5^1 - 3^x \cdot 3^2 > 2 \cdot 5^x - 2 \cdot 3^x \cdot 3^{-1}$
$5 \cdot 5^x - 9 \cdot 3^x > 2 \cdot 5^x - \frac{2}{3} \cdot 3^x$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:
$5 \cdot 5^x - 2 \cdot 5^x > 9 \cdot 3^x - \frac{2}{3} \cdot 3^x$
$3 \cdot 5^x > (9 - \frac{2}{3}) \cdot 3^x$
$3 \cdot 5^x > \frac{25}{3} \cdot 3^x$

Разделим обе части на $3 \cdot 3^x$ (выражение всегда положительно):
$\frac{3 \cdot 5^x}{3 \cdot 3^x} > \frac{25/3 \cdot 3^x}{3 \cdot 3^x}$
$(\frac{5}{3})^x > \frac{25}{9}$

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{5}{3}$:
$(\frac{5}{3})^x > (\frac{5}{3})^2$

Так как основание $a = \frac{5}{3} > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:
$x > 2$

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

4) $3^x + 10^{x-2} > 19 \cdot 3^{x-2} + 10^{x-3}$

Преобразуем степени в неравенстве:
$3^x + 10^x \cdot 10^{-2} > 19 \cdot 3^x \cdot 3^{-2} + 10^x \cdot 10^{-3}$
$3^x + \frac{1}{100} \cdot 10^x > \frac{19}{9} \cdot 3^x + \frac{1}{1000} \cdot 10^x$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:
$3^x - \frac{19}{9} \cdot 3^x > \frac{1}{1000} \cdot 10^x - \frac{1}{100} \cdot 10^x$
$(1 - \frac{19}{9}) \cdot 3^x > (\frac{1}{1000} - \frac{10}{1000}) \cdot 10^x$
$-\frac{10}{9} \cdot 3^x > -\frac{9}{1000} \cdot 10^x$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{10}{9} \cdot 3^x < \frac{9}{1000} \cdot 10^x$

Разделим обе части на $10^x$ и умножим на $\frac{9}{10}$:
$(\frac{3}{10})^x < \frac{9}{1000} \cdot \frac{9}{10}$
$(\frac{3}{10})^x < \frac{81}{10000}$

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{3}{10}$:
$(\frac{3}{10})^x < (\frac{3}{10})^4$

Так как основание $a = \frac{3}{10}$ и $0 < a < 1$, функция является убывающей, поэтому знак неравенства для показателей меняется на противоположный:
$x > 4$

Ответ: $x \in (4; +\infty)$.