Номер 285, страница 140 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Дано неравенство $9^{x+1} - 3^{x+3} < 3^x - 3$.

Приведем все степени к основанию 3, учитывая, что $9 = 3^2$.

$(3^2)^{x+1} - 3^{x+3} < 3^x - 3$

$3^{2(x+1)} - 3^{x+3} < 3^x - 3$

$3^{2x+2} - 3^{x+3} < 3^x - 3$

Используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, раскроем показатели:

$3^2 \cdot 3^{2x} - 3^3 \cdot 3^x < 3^x - 3$

$9 \cdot (3^x)^2 - 27 \cdot 3^x < 3^x - 3$

Перенесем все члены в левую часть неравенства:

$9 \cdot (3^x)^2 - 27 \cdot 3^x - 3^x + 3 < 0$

$9 \cdot (3^x)^2 - 28 \cdot 3^x + 3 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция $y=3^x$ всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство: $9t^2 - 28t + 3 < 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $9t^2 - 28t + 3 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 3 = 784 - 108 = 676 = 26^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{28 - 26}{2 \cdot 9} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$ и $t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{28 + 26}{2 \cdot 9} = \frac{54}{18} = 3$.

Так как коэффициент при $t^2$ равен 9 (положительный), ветви параболы $y=9t^2 - 28t + 3$ направлены вверх. Значения функции меньше нуля между корнями.

Следовательно, $\frac{1}{9} < t < 3$.

Произведем обратную замену:

$\frac{1}{9} < 3^x < 3$

Представим границы интервала как степени с основанием 3:

$3^{-2} < 3^x < 3^1$

Так как основание степени $3 > 1$, функция $y=3^x$ является возрастающей, поэтому при переходе к показателям знак неравенства сохраняется:

$-2 < x < 1$

Целые числа, входящие в этот интервал: -1, 0. Наибольшее из них равно 0.

Ответ: 0

2)

Дано неравенство $13 \cdot 2^{x+4} - 208 \cdot 2^{-2x-3} < 0$.

Упростим выражение, используя свойства степеней:

$13 \cdot (2^x \cdot 2^4) - 208 \cdot (2^{-2x} \cdot 2^{-3}) < 0$

$13 \cdot 16 \cdot 2^x - 208 \cdot \frac{1}{2^{2x}} \cdot \frac{1}{8} < 0$

$208 \cdot 2^x - 26 \cdot \frac{1}{(2^x)^2} < 0$

Разделим обе части неравенства на 26 (положительное число, знак не меняется):

$8 \cdot 2^x - \frac{1}{(2^x)^2} < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, при этом $t > 0$.

$8t - \frac{1}{t^2} < 0$

Так как $t > 0$, то и $t^2 > 0$. Умножим обе части неравенства на $t^2$, чтобы избавиться от знаменателя. Знак неравенства при этом не изменится.

$8t^3 - 1 < 0$

$8t^3 < 1$

$t^3 < \frac{1}{8}$

$t < \sqrt[3]{\frac{1}{8}}$

$t < \frac{1}{2}$

Учитывая условие $t > 0$, получаем решение для $t$: $0 < t < \frac{1}{2}$.

Вернемся к переменной $x$:

$0 < 2^x < \frac{1}{2}$

Неравенство $2^x > 0$ выполняется всегда. Решим вторую часть: $2^x < \frac{1}{2}$.

$2^x < 2^{-1}$

Так как основание $2 > 1$, функция $y=2^x$ возрастающая, поэтому $x < -1$.

Наибольшее целое число, которое меньше -1, это -2.

Ответ: -2

3)

Дано неравенство $7 \cdot 3^{x-2} + 20 \cdot 3^{2-x} < \frac{41}{3^{x-2}}$.

Заметим, что $3^{2-x} = 3^{-(x-2)} = \frac{1}{3^{x-2}}$. Перепишем неравенство:

$7 \cdot 3^{x-2} + 20 \cdot \frac{1}{3^{x-2}} < \frac{41}{3^{x-2}}$

Сделаем замену. Пусть $t = 3^{x-2}$, при этом $t > 0$.

$7t + \frac{20}{t} < \frac{41}{t}$

Перенесем все члены в левую часть:

$7t + \frac{20}{t} - \frac{41}{t} < 0$

$7t - \frac{21}{t} < 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{7t^2 - 21}{t} < 0$

Так как по условию замены $t > 0$, знаменатель дроби всегда положителен. Следовательно, знак дроби совпадает со знаком числителя. Поэтому неравенство равносильно следующему:

$7t^2 - 21 < 0$

$7t^2 < 21$

$t^2 < 3$

$-\sqrt{3} < t < \sqrt{3}$

Учитывая, что $t > 0$, получаем $0 < t < \sqrt{3}$.

Произведем обратную замену:

$0 < 3^{x-2} < \sqrt{3}$

Решим правую часть неравенства $3^{x-2} < \sqrt{3}$, представив $\sqrt{3}$ как $3^{1/2}$:

$3^{x-2} < 3^{1/2}$

Так как основание $3 > 1$, то $x-2 < \frac{1}{2}$.

$x < 2 + \frac{1}{2}$

$x < 2.5$

Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию, это 2.

Ответ: 2

4)

Дано неравенство $\frac{440}{6^x} - 2 \cdot 6^x > 8 \cdot 6^{-x}$.

Перепишем $6^{-x}$ как $\frac{1}{6^x}$:

$\frac{440}{6^x} - 2 \cdot 6^x > \frac{8}{6^x}$

Сделаем замену. Пусть $t = 6^x$, где $t > 0$.

$\frac{440}{t} - 2t > \frac{8}{t}$

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{440}{t} - \frac{8}{t} - 2t > 0$

$\frac{432}{t} - 2t > 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{432 - 2t^2}{t} > 0$

Так как $t > 0$, знаменатель положителен. Знак дроби определяется знаком числителя:

$432 - 2t^2 > 0$

$432 > 2t^2$

$216 > t^2$

$t^2 < 216$

$-\sqrt{216} < t < \sqrt{216}$

С учетом условия $t > 0$, получаем $0 < t < \sqrt{216}$.

Вернемся к переменной $x$:

$0 < 6^x < \sqrt{216}$

Упростим правую часть: $\sqrt{216} = \sqrt{36 \cdot 6} = 6\sqrt{6} = 6^1 \cdot 6^{0.5} = 6^{1.5}$.

Получаем неравенство $6^x < 6^{1.5}$.

Так как основание $6 > 1$, то $x < 1.5$.

Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию, это 1.

Ответ: 1