Страница 140 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Дано неравенство $9^{x+1} - 3^{x+3} < 3^x - 3$.

Приведем все степени к основанию 3, учитывая, что $9 = 3^2$.

$(3^2)^{x+1} - 3^{x+3} < 3^x - 3$

$3^{2(x+1)} - 3^{x+3} < 3^x - 3$

$3^{2x+2} - 3^{x+3} < 3^x - 3$

Используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, раскроем показатели:

$3^2 \cdot 3^{2x} - 3^3 \cdot 3^x < 3^x - 3$

$9 \cdot (3^x)^2 - 27 \cdot 3^x < 3^x - 3$

Перенесем все члены в левую часть неравенства:

$9 \cdot (3^x)^2 - 27 \cdot 3^x - 3^x + 3 < 0$

$9 \cdot (3^x)^2 - 28 \cdot 3^x + 3 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция $y=3^x$ всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство: $9t^2 - 28t + 3 < 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $9t^2 - 28t + 3 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 3 = 784 - 108 = 676 = 26^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{28 - 26}{2 \cdot 9} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$ и $t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{28 + 26}{2 \cdot 9} = \frac{54}{18} = 3$.

Так как коэффициент при $t^2$ равен 9 (положительный), ветви параболы $y=9t^2 - 28t + 3$ направлены вверх. Значения функции меньше нуля между корнями.

Следовательно, $\frac{1}{9} < t < 3$.

Произведем обратную замену:

$\frac{1}{9} < 3^x < 3$

Представим границы интервала как степени с основанием 3:

$3^{-2} < 3^x < 3^1$

Так как основание степени $3 > 1$, функция $y=3^x$ является возрастающей, поэтому при переходе к показателям знак неравенства сохраняется:

$-2 < x < 1$

Целые числа, входящие в этот интервал: -1, 0. Наибольшее из них равно 0.

Ответ: 0

2)

Дано неравенство $13 \cdot 2^{x+4} - 208 \cdot 2^{-2x-3} < 0$.

Упростим выражение, используя свойства степеней:

$13 \cdot (2^x \cdot 2^4) - 208 \cdot (2^{-2x} \cdot 2^{-3}) < 0$

$13 \cdot 16 \cdot 2^x - 208 \cdot \frac{1}{2^{2x}} \cdot \frac{1}{8} < 0$

$208 \cdot 2^x - 26 \cdot \frac{1}{(2^x)^2} < 0$

Разделим обе части неравенства на 26 (положительное число, знак не меняется):

$8 \cdot 2^x - \frac{1}{(2^x)^2} < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, при этом $t > 0$.

$8t - \frac{1}{t^2} < 0$

Так как $t > 0$, то и $t^2 > 0$. Умножим обе части неравенства на $t^2$, чтобы избавиться от знаменателя. Знак неравенства при этом не изменится.

$8t^3 - 1 < 0$

$8t^3 < 1$

$t^3 < \frac{1}{8}$

$t < \sqrt[3]{\frac{1}{8}}$

$t < \frac{1}{2}$

Учитывая условие $t > 0$, получаем решение для $t$: $0 < t < \frac{1}{2}$.

Вернемся к переменной $x$:

$0 < 2^x < \frac{1}{2}$

Неравенство $2^x > 0$ выполняется всегда. Решим вторую часть: $2^x < \frac{1}{2}$.

$2^x < 2^{-1}$

Так как основание $2 > 1$, функция $y=2^x$ возрастающая, поэтому $x < -1$.

Наибольшее целое число, которое меньше -1, это -2.

Ответ: -2

3)

Дано неравенство $7 \cdot 3^{x-2} + 20 \cdot 3^{2-x} < \frac{41}{3^{x-2}}$.

Заметим, что $3^{2-x} = 3^{-(x-2)} = \frac{1}{3^{x-2}}$. Перепишем неравенство:

$7 \cdot 3^{x-2} + 20 \cdot \frac{1}{3^{x-2}} < \frac{41}{3^{x-2}}$

Сделаем замену. Пусть $t = 3^{x-2}$, при этом $t > 0$.

$7t + \frac{20}{t} < \frac{41}{t}$

Перенесем все члены в левую часть:

$7t + \frac{20}{t} - \frac{41}{t} < 0$

$7t - \frac{21}{t} < 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{7t^2 - 21}{t} < 0$

Так как по условию замены $t > 0$, знаменатель дроби всегда положителен. Следовательно, знак дроби совпадает со знаком числителя. Поэтому неравенство равносильно следующему:

$7t^2 - 21 < 0$

$7t^2 < 21$

$t^2 < 3$

$-\sqrt{3} < t < \sqrt{3}$

Учитывая, что $t > 0$, получаем $0 < t < \sqrt{3}$.

Произведем обратную замену:

$0 < 3^{x-2} < \sqrt{3}$

Решим правую часть неравенства $3^{x-2} < \sqrt{3}$, представив $\sqrt{3}$ как $3^{1/2}$:

$3^{x-2} < 3^{1/2}$

Так как основание $3 > 1$, то $x-2 < \frac{1}{2}$.

$x < 2 + \frac{1}{2}$

$x < 2.5$

Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию, это 2.

Ответ: 2

4)

Дано неравенство $\frac{440}{6^x} - 2 \cdot 6^x > 8 \cdot 6^{-x}$.

Перепишем $6^{-x}$ как $\frac{1}{6^x}$:

$\frac{440}{6^x} - 2 \cdot 6^x > \frac{8}{6^x}$

Сделаем замену. Пусть $t = 6^x$, где $t > 0$.

$\frac{440}{t} - 2t > \frac{8}{t}$

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{440}{t} - \frac{8}{t} - 2t > 0$

$\frac{432}{t} - 2t > 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{432 - 2t^2}{t} > 0$

Так как $t > 0$, знаменатель положителен. Знак дроби определяется знаком числителя:

$432 - 2t^2 > 0$

$432 > 2t^2$

$216 > t^2$

$t^2 < 216$

$-\sqrt{216} < t < \sqrt{216}$

С учетом условия $t > 0$, получаем $0 < t < \sqrt{216}$.

Вернемся к переменной $x$:

$0 < 6^x < \sqrt{216}$

Упростим правую часть: $\sqrt{216} = \sqrt{36 \cdot 6} = 6\sqrt{6} = 6^1 \cdot 6^{0.5} = 6^{1.5}$.

Получаем неравенство $6^x < 6^{1.5}$.

Так как основание $6 > 1$, то $x < 1.5$.

Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию, это 1.

Ответ: 1

1) Дано неравенство $7^{2x-1} - 7^{x+1} \le 7^{x-1} - 7$. Преобразуем неравенство, используя свойства степеней: $\frac{7^{2x}}{7} - 7 \cdot 7^x \le \frac{7^x}{7} - 7$. Сделаем замену $y = 7^x$, где $y > 0$. Неравенство примет вид: $\frac{y^2}{7} - 7y \le \frac{y}{7} - 7$. Умножим обе части на 7, чтобы избавиться от знаменателя: $y^2 - 49y \le y - 49$. Перенесем все члены в левую часть: $y^2 - 50y + 49 \le 0$. Найдем корни квадратного уравнения $y^2 - 50y + 49 = 0$. По теореме Виета, корни $y_1 = 1$ и $y_2 = 49$. Неравенство можно записать как $(y-1)(y-49) \le 0$. Решением этого неравенства является промежуток $1 \le y \le 49$. Вернемся к замене $y = 7^x$: $1 \le 7^x \le 49$. Представим границы в виде степеней семерки: $7^0 \le 7^x \le 7^2$. Так как основание $7 > 1$, то для показателей степени неравенство сохраняется: $0 \le x \le 2$. Наименьшее целое число в этом промежутке - это 0. Ответ: 0

2) Дано неравенство $3^{2x+2} - 3^{x+4} < 3^x - 9$. Преобразуем неравенство: $3^{2x} \cdot 3^2 - 3^x \cdot 3^4 < 3^x - 9$, что равносильно $9 \cdot (3^x)^2 - 81 \cdot 3^x < 3^x - 9$. Сделаем замену $y = 3^x$, где $y > 0$. Получим: $9y^2 - 81y < y - 9$. Перенесем все в левую часть: $9y^2 - 82y + 9 < 0$. Найдем корни уравнения $9y^2 - 82y + 9 = 0$ через дискриминант: $D = (-82)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 9 = 6724 - 324 = 6400 = 80^2$. Корни: $y_{1,2} = \frac{82 \pm 80}{18}$, то есть $y_1 = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$ и $y_2 = \frac{162}{18} = 9$. Неравенство можно записать как $9(y-\frac{1}{9})(y-9) < 0$. Решением является интервал $\frac{1}{9} < y < 9$. Вернемся к замене $y = 3^x$: $\frac{1}{9} < 3^x < 9$. Представим границы в виде степеней тройки: $3^{-2} < 3^x < 3^2$. Так как основание $3 > 1$, то $-2 < x < 2$. Наименьшее целое число в этом интервале - это -1. Ответ: -1

3) Дано неравенство $2^{2x+1} - 2^{x+3} \le 2^{x+1} - 8$. Преобразуем его: $2 \cdot 2^{2x} - 8 \cdot 2^x \le 2 \cdot 2^x - 8$. Сделаем замену $y = 2^x$, где $y > 0$. Получим $2y^2 - 8y \le 2y - 8$. Перенесем все члены в левую часть: $2y^2 - 10y + 8 \le 0$. Разделим неравенство на 2: $y^2 - 5y + 4 \le 0$. Найдем корни уравнения $y^2 - 5y + 4 = 0$. По теореме Виета, корни $y_1 = 1$ и $y_2 = 4$. Неравенство можно записать как $(y-1)(y-4) \le 0$. Решением является промежуток $1 \le y \le 4$. Вернемся к замене $y = 2^x$: $1 \le 2^x \le 4$. Представим границы в виде степеней двойки: $2^0 \le 2^x \le 2^2$. Так как основание $2 > 1$, то для показателей степени имеем $0 \le x \le 2$. Наименьшее целое число в этом промежутке - это 0. Ответ: 0

4) Дано неравенство $5^{2x} - 5^{x+2} < 5^x - 25$. Преобразуем его: $(5^x)^2 - 25 \cdot 5^x < 5^x - 25$. Сделаем замену $y = 5^x$, где $y > 0$. Получим $y^2 - 25y < y - 25$. Перенесем все члены влево: $y^2 - 26y + 25 < 0$. Найдем корни уравнения $y^2 - 26y + 25 = 0$. По теореме Виета, корни $y_1 = 1$ и $y_2 = 25$. Неравенство можно записать как $(y-1)(y-25) < 0$. Решением является интервал $1 < y < 25$. Вернемся к замене $y = 5^x$: $1 < 5^x < 25$. Представим границы в виде степеней пятерки: $5^0 < 5^x < 5^2$. Так как основание $5 > 1$, то для показателей степени имеем $0 < x < 2$. Наименьшее целое число в этом интервале - это 1. Ответ: 1

1) $2^{x+3} + 3 \cdot 5^x < 3 \cdot 2^x + 5^{x+1}$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и преобразуем неравенство:
$2^x \cdot 2^3 + 3 \cdot 5^x < 3 \cdot 2^x + 5^x \cdot 5^1$
$8 \cdot 2^x + 3 \cdot 5^x < 3 \cdot 2^x + 5 \cdot 5^x$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями. Перенесем все члены с $2^x$ в левую часть, а с $5^x$ в правую:
$8 \cdot 2^x - 3 \cdot 2^x < 5 \cdot 5^x - 3 \cdot 5^x$
$5 \cdot 2^x < 2 \cdot 5^x$

Разделим обе части неравенства на $5 \cdot 5^x$. Так как $5 \cdot 5^x > 0$ для любого $x$, знак неравенства не изменится:
$\frac{5 \cdot 2^x}{5 \cdot 5^x} < \frac{2 \cdot 5^x}{5 \cdot 5^x}$
$\frac{2^x}{5^x} < \frac{2}{5}$
$(\frac{2}{5})^x < (\frac{2}{5})^1$

Так как основание степени $a = \frac{2}{5}$ и $0 < a < 1$, показательная функция $y = (\frac{2}{5})^x$ является убывающей. Поэтому при сравнении показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$x > 1$

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

2) $2^{2x+1} - 3^{2x+1} < 3^{2x} - 7 \cdot 2^{2x}$

Преобразуем степени в неравенстве:
$2^{2x} \cdot 2^1 - 3^{2x} \cdot 3^1 < 3^{2x} - 7 \cdot 2^{2x}$
$2 \cdot 2^{2x} - 3 \cdot 3^{2x} < 3^{2x} - 7 \cdot 2^{2x}$

Сгруппируем слагаемые с $2^{2x}$ в левой части, а с $3^{2x}$ в правой:
$2 \cdot 2^{2x} + 7 \cdot 2^{2x} < 3^{2x} + 3 \cdot 3^{2x}$
$9 \cdot 2^{2x} < 4 \cdot 3^{2x}$

Разделим обе части на $9 \cdot 3^{2x}$ (это выражение всегда положительно):
$\frac{9 \cdot 2^{2x}}{9 \cdot 3^{2x}} < \frac{4 \cdot 3^{2x}}{9 \cdot 3^{2x}}$
$(\frac{2}{3})^{2x} < \frac{4}{9}$

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{2}{3}$:
$(\frac{2}{3})^{2x} < (\frac{2}{3})^2$

Так как основание $a = \frac{2}{3}$ и $0 < a < 1$, функция является убывающей, поэтому знак неравенства для показателей меняется на противоположный:
$2x > 2$
$x > 1$

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

3) $5^{x+1} - 3^{x+2} > 2 \cdot 5^x - 2 \cdot 3^{x-1}$

Преобразуем степени в неравенстве:
$5^x \cdot 5^1 - 3^x \cdot 3^2 > 2 \cdot 5^x - 2 \cdot 3^x \cdot 3^{-1}$
$5 \cdot 5^x - 9 \cdot 3^x > 2 \cdot 5^x - \frac{2}{3} \cdot 3^x$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:
$5 \cdot 5^x - 2 \cdot 5^x > 9 \cdot 3^x - \frac{2}{3} \cdot 3^x$
$3 \cdot 5^x > (9 - \frac{2}{3}) \cdot 3^x$
$3 \cdot 5^x > \frac{25}{3} \cdot 3^x$

Разделим обе части на $3 \cdot 3^x$ (выражение всегда положительно):
$\frac{3 \cdot 5^x}{3 \cdot 3^x} > \frac{25/3 \cdot 3^x}{3 \cdot 3^x}$
$(\frac{5}{3})^x > \frac{25}{9}$

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{5}{3}$:
$(\frac{5}{3})^x > (\frac{5}{3})^2$

Так как основание $a = \frac{5}{3} > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:
$x > 2$

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

4) $3^x + 10^{x-2} > 19 \cdot 3^{x-2} + 10^{x-3}$

Преобразуем степени в неравенстве:
$3^x + 10^x \cdot 10^{-2} > 19 \cdot 3^x \cdot 3^{-2} + 10^x \cdot 10^{-3}$
$3^x + \frac{1}{100} \cdot 10^x > \frac{19}{9} \cdot 3^x + \frac{1}{1000} \cdot 10^x$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:
$3^x - \frac{19}{9} \cdot 3^x > \frac{1}{1000} \cdot 10^x - \frac{1}{100} \cdot 10^x$
$(1 - \frac{19}{9}) \cdot 3^x > (\frac{1}{1000} - \frac{10}{1000}) \cdot 10^x$
$-\frac{10}{9} \cdot 3^x > -\frac{9}{1000} \cdot 10^x$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{10}{9} \cdot 3^x < \frac{9}{1000} \cdot 10^x$

Разделим обе части на $10^x$ и умножим на $\frac{9}{10}$:
$(\frac{3}{10})^x < \frac{9}{1000} \cdot \frac{9}{10}$
$(\frac{3}{10})^x < \frac{81}{10000}$

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{3}{10}$:
$(\frac{3}{10})^x < (\frac{3}{10})^4$

Так как основание $a = \frac{3}{10}$ и $0 < a < 1$, функция является убывающей, поэтому знак неравенства для показателей меняется на противоположный:
$x > 4$

Ответ: $x \in (4; +\infty)$.

1) Решим неравенство $2^{\sqrt{x+1}} - 1 < 3 \cdot 2^{2-\sqrt{x+1}}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$x+1 \geq 0 \implies x \geq -1$.

Преобразуем правую часть неравенства, используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$2^{2-\sqrt{x+1}} = 2^2 \cdot 2^{-\sqrt{x+1}} = \frac{4}{2^{\sqrt{x+1}}}$.

Неравенство принимает вид:

$2^{\sqrt{x+1}} - 1 < 3 \cdot \frac{4}{2^{\sqrt{x+1}}}$

$2^{\sqrt{x+1}} - 1 < \frac{12}{2^{\sqrt{x+1}}}$

Введем замену переменной. Пусть $t = 2^{\sqrt{x+1}}$. Поскольку $\sqrt{x+1} \geq 0$, то $t = 2^{\sqrt{x+1}} \geq 2^0 = 1$.

Подставим $t$ в неравенство:

$t - 1 < \frac{12}{t}$

Так как $t \geq 1$, то $t$ - положительное число. Умножим обе части неравенства на $t$, сохранив знак неравенства:

$t(t - 1) < 12$

$t^2 - t < 12$

$t^2 - t - 12 < 0$

Для решения квадратного неравенства найдем корни уравнения $t^2 - t - 12 = 0$. По теореме Виета, корни равны $t_1 = -3$ и $t_2 = 4$.

Так как ветви параболы $y=t^2 - t - 12$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $-3 < t < 4$.

Учтем ограничение $t \geq 1$. Получаем систему условий для $t$:

$\begin{cases} -3 < t < 4 \\ t \geq 1 \end{cases}$

Решением системы является интервал $1 \leq t < 4$.

Выполним обратную замену:

$1 \leq 2^{\sqrt{x+1}} < 4$

Представим 1 и 4 как степени числа 2:

$2^0 \leq 2^{\sqrt{x+1}} < 2^2$

Поскольку основание степени $2 > 1$, мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знаки:

$0 \leq \sqrt{x+1} < 2$

Неравенство $0 \leq \sqrt{x+1}$ верно для всех $x$ из ОДЗ. Решим вторую часть неравенства $\sqrt{x+1} < 2$. Поскольку обе части неотрицательны, возведем их в квадрат:

$x+1 < 4$

$x < 3$

Объединим полученное решение с ОДЗ $x \geq -1$:

$\begin{cases} x < 3 \\ x \geq -1 \end{cases}$

Следовательно, решение неравенства: $-1 \leq x < 3$.

Ответ: $x \in [-1; 3)$.

2) Решим неравенство $2 \cdot 3^{\sqrt{x+1}} - 5 > 3^{1-\sqrt{x+1}}$.

ОДЗ: $x+1 \geq 0 \implies x \geq -1$.

Преобразуем неравенство:

$2 \cdot 3^{\sqrt{x+1}} - 5 > \frac{3^1}{3^{\sqrt{x+1}}}$

Сделаем замену $t = 3^{\sqrt{x+1}}$. Так как $\sqrt{x+1} \geq 0$, то $t \geq 3^0 = 1$.

Неравенство для $t$:

$2t - 5 > \frac{3}{t}$

Умножим на $t > 0$:

$2t^2 - 5t > 3$

$2t^2 - 5t - 3 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $2t^2 - 5t - 3 = 0$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

$t_{1,2} = \frac{5 \pm 7}{4}$. Корни: $t_1 = -\frac{1}{2}$, $t_2 = 3$.

Решение неравенства $2t^2 - 5t - 3 > 0$ находится вне корней: $t < -\frac{1}{2}$ или $t > 3$.

Учитывая ограничение $t \geq 1$, получаем $t > 3$.

Вернемся к переменной $x$:

$3^{\sqrt{x+1}} > 3^1$

Так как основание $3 > 1$, то $\sqrt{x+1} > 1$.

Возведем обе части в квадрат:

$x+1 > 1 \implies x > 0$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \geq -1$).

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

3) Решим неравенство $5^{\sqrt{x-2}} > 5^{1-\sqrt{x-2}} + 4$.

ОДЗ: $x-2 \geq 0 \implies x \geq 2$.

Преобразуем неравенство:

$5^{\sqrt{x-2}} > \frac{5}{5^{\sqrt{x-2}}} + 4$

Сделаем замену $t = 5^{\sqrt{x-2}}$. Так как $\sqrt{x-2} \geq 0$, то $t \geq 5^0 = 1$.

Неравенство для $t$:

$t > \frac{5}{t} + 4$

Умножим на $t > 0$:

$t^2 > 5 + 4t$

$t^2 - 4t - 5 > 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 4t - 5 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = -1$ и $t_2 = 5$.

Решение неравенства $t^2 - 4t - 5 > 0$ находится вне корней: $t < -1$ или $t > 5$.

Учитывая ограничение $t \geq 1$, получаем $t > 5$.

Вернемся к переменной $x$:

$5^{\sqrt{x-2}} > 5^1$

Так как основание $5 > 1$, то $\sqrt{x-2} > 1$.

Возведем обе части в квадрат:

$x-2 > 1 \implies x > 3$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \geq 2$).

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

4) Решим неравенство $2 \cdot 7^{\sqrt{2x-3}} \geq 7^{1-\sqrt{2x-3}} + 13$.

ОДЗ: $2x-3 \geq 0 \implies 2x \geq 3 \implies x \geq \frac{3}{2}$.

Преобразуем неравенство:

$2 \cdot 7^{\sqrt{2x-3}} \geq \frac{7}{7^{\sqrt{2x-3}}} + 13$

Сделаем замену $t = 7^{\sqrt{2x-3}}$. Так как $\sqrt{2x-3} \geq 0$, то $t \geq 7^0 = 1$.

Неравенство для $t$:

$2t \geq \frac{7}{t} + 13$

Умножим на $t > 0$:

$2t^2 \geq 7 + 13t$

$2t^2 - 13t - 7 \geq 0$

Найдем корни квадратного уравнения $2t^2 - 13t - 7 = 0$:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225 = 15^2$.

$t_{1,2} = \frac{13 \pm 15}{4}$. Корни: $t_1 = -\frac{1}{2}$, $t_2 = 7$.

Решение неравенства $2t^2 - 13t - 7 \geq 0$ находится на участках $t \leq -\frac{1}{2}$ или $t \geq 7$.

Учитывая ограничение $t \geq 1$, получаем $t \geq 7$.

Вернемся к переменной $x$:

$7^{\sqrt{2x-3}} \geq 7^1$

Так как основание $7 > 1$, то $\sqrt{2x-3} \geq 1$.

Возведем обе части в квадрат:

$2x-3 \geq 1 \implies 2x \geq 4 \implies x \geq 2$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \geq \frac{3}{2}$).

Ответ: $x \in [2; +\infty)$.

1) $(x - 3)^{x^2 - 9} > 1$

Решение показательного неравенства вида $f(x)^{g(x)} > 1$ сводится к рассмотрению двух случаев.

Случай 1: Основание больше 1, а показатель степени больше 0.

$\begin{cases} x - 3 > 1 \\ x^2 - 9 > 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x > 4 \\ (x - 3)(x + 3) > 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x > 4 \\ x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty) \end{cases}$

Пересечением этих условий является интервал $x > 4$, то есть $x \in (4, +\infty)$.

Случай 2: Основание находится в интервале от 0 до 1, а показатель степени меньше 0.

$\begin{cases} 0 < x - 3 < 1 \\ x^2 - 9 < 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} 3 < x < 4 \\ (x - 3)(x + 3) < 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} 3 < x < 4 \\ -3 < x < 3 \end{cases}$

Данная система не имеет решений, так как интервалы $(3, 4)$ и $(-3, 3)$ не пересекаются.

Объединяя решения из первого случая, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in (4, +\infty)$.

2) $(x - 2)^{x^2 - 1} > 1$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание больше 1, показатель степени больше 0.

$\begin{cases} x - 2 > 1 \\ x^2 - 1 > 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x > 3 \\ (x - 1)(x + 1) > 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x > 3 \\ x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) \end{cases}$

Пересечением этих множеств является интервал $x > 3$, то есть $x \in (3, +\infty)$.

Случай 2: Основание от 0 до 1, показатель степени меньше 0.

$\begin{cases} 0 < x - 2 < 1 \\ x^2 - 1 < 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} 2 < x < 3 \\ (x - 1)(x + 1) < 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} 2 < x < 3 \\ -1 < x < 1 \end{cases}$

Система не имеет решений, так как интервалы $(2, 3)$ и $(-1, 1)$ не пересекаются.

Решением неравенства является решение из первого случая.

Ответ: $x \in (3, +\infty)$.

3) $(x - 1)^{\frac{2x-7}{x+1}} \ge 1$

Область допустимых значений (ОДЗ): основание степени должно быть положительным, $x - 1 > 0 \implies x > 1$. Также знаменатель показателя не должен равняться нулю, $x+1 \ne 0 \implies x \ne -1$. Итоговая ОДЗ: $x > 1$.

Рассмотрим три случая.

Случай 1: Основание больше 1, показатель степени больше или равен 0.

$\begin{cases} x - 1 > 1 \\ \frac{2x-7}{x+1} \ge 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x > 2 \\ x \in (-\infty, -1) \cup [3.5, +\infty) \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x \in [3.5, +\infty)$.

Случай 2: Основание от 0 до 1, показатель степени меньше или равен 0.

$\begin{cases} 0 < x - 1 < 1 \\ \frac{2x-7}{x+1} \le 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} 1 < x < 2 \\ x \in (-1, 3.5] \end{cases}$

Пересечением этих условий является интервал $1 < x < 2$, то есть $x \in (1, 2)$.

Случай 3: Основание равно 1. При этом показатель должен быть определен.

$x - 1 = 1 \implies x = 2$.

При $x=2$ неравенство принимает вид $1^{\frac{2 \cdot 2-7}{2+1}} \ge 1 \implies 1^{-1} \ge 1 \implies 1 \ge 1$. Это верное неравенство, значит, $x=2$ является решением.

Объединяем все полученные решения: $[3.5, +\infty) \cup (1, 2) \cup \{2\}$, что дает $(1, 2] \cup [3.5, +\infty)$.

Ответ: $x \in (1, 2] \cup [3.5, +\infty)$.

4) $\left(x + \frac{1}{2}\right)^{x^2 - \frac{1}{4}} > 1$

ОДЗ: основание $x + \frac{1}{2} > 0 \implies x > -\frac{1}{2}$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание больше 1, показатель степени больше 0.

$\begin{cases} x + \frac{1}{2} > 1 \\ x^2 - \frac{1}{4} > 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x > \frac{1}{2} \\ (x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{2}) > 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x > \frac{1}{2} \\ x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, +\infty) \end{cases}$

Пересечением этих множеств является $x > \frac{1}{2}$, то есть $x \in (\frac{1}{2}, +\infty)$.

Случай 2: Основание от 0 до 1, показатель степени меньше 0.

$\begin{cases} 0 < x + \frac{1}{2} < 1 \\ x^2 - \frac{1}{4} < 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} \\ (x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{2}) < 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} \end{cases}$

Решением этой системы является интервал $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$, то есть $x \in (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.

Объединяем решения из обоих случаев.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)$.

1) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2^{x+2} - 0.75 \cdot 2^{x+2} > 1, \\ 0.2^x \le 0.04^{x^2} \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство:

$2^{x+2} - 0.75 \cdot 2^{x+2} > 1$

Вынесем общий множитель $2^{x+2}$ за скобки:

$2^{x+2}(1 - 0.75) > 1$

$2^{x+2} \cdot 0.25 > 1$

Так как $0.25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}$, неравенство можно переписать в виде:

$2^{x+2} \cdot 2^{-2} > 1$

$2^{x+2-2} > 1$

$2^x > 2^0$

Поскольку основание степени $2 > 1$, знак неравенства для показателей степеней сохраняется:

$x > 0$

Решением первого неравенства является интервал $x \in (0, +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство:

$0.2^x \le 0.04^{x^2}$

Представим $0.04$ как степень числа $0.2$: $0.04 = (0.2)^2$.

$0.2^x \le (0.2^2)^{x^2}$

$0.2^x \le 0.2^{2x^2}$

Поскольку основание степени $0.2 < 1$, при переходе к неравенству для показателей знак меняется на противоположный:

$x \ge 2x^2$

Перенесем все члены в одну часть и решим полученное квадратное неравенство:

$2x^2 - x \le 0$

$x(2x - 1) \le 0$

Корнями уравнения $x(2x-1) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 0.5$. Ветви параболы $y = 2x^2 - x$ направлены вверх, поэтому выражение $x(2x-1)$ неположительно на отрезке между корнями.

Решением второго неравенства является отрезок $0 \le x \le 0.5$, или $x \in [0; 0.5]$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств, чтобы найти решение системы:

$x \in (0, +\infty) \cap [0; 0.5]$

Пересечением этих множеств является полуинтервал $(0; 0.5]$.

Ответ: $(0; 0.5]$.

2) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} (x-2)^{2x^2 - 11x + 9} < 1, \\ (0.3)^{\sqrt{4x^2 - 3x + 2}} > (0.3)^{\sqrt{x}} \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство: $(x-2)^{2x^2 - 11x + 9} < 1$.

Область определения показательной функции требует, чтобы основание было положительным: $x-2 > 0$, откуда $x > 2$.

Рассмотрим два возможных случая для основания $x-2$.

Случай 1: Основание больше 1.

$x - 2 > 1 \implies x > 3$.

Если основание больше 1, то для выполнения неравенства показатель степени должен быть отрицательным:

$2x^2 - 11x + 9 < 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 - 11x + 9 = 0$.

Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 121 - 72 = 49 = 7^2$.

Корни: $x_1 = \frac{11 - 7}{4} = 1$, $x_2 = \frac{11 + 7}{4} = \frac{18}{4} = 4.5$.

Неравенство $2x^2 - 11x + 9 < 0$ выполняется при $1 < x < 4.5$.

Найдем пересечение этого решения с условием данного случая ($x > 3$): $(1; 4.5) \cap (3; +\infty) = (3; 4.5)$.

Случай 2: Основание находится в интервале от 0 до 1.

$0 < x - 2 < 1 \implies 2 < x < 3$.

Если основание от 0 до 1, то для выполнения неравенства показатель степени должен быть положительным:

$2x^2 - 11x + 9 > 0$.

Это неравенство справедливо для $x < 1$ или $x > 4.5$.

Найдем пересечение этого решения с условием данного случая ($2 < x < 3$): $((-\infty; 1) \cup (4.5; +\infty)) \cap (2; 3) = \emptyset$. В этом случае решений нет.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем общее решение первого неравенства: $x \in (3; 4.5)$.

Теперь решим второе неравенство:

$(0.3)^{\sqrt{4x^2 - 3x + 2}} > (0.3)^{\sqrt{x}}$

Найдем область определения неравенства (ОДЗ). Выражения под корнем должны быть неотрицательными:

1. $4x^2 - 3x + 2 \ge 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 9 - 32 = -23 < 0$. Так как старший коэффициент ($4$) положителен, а дискриминант отрицателен, выражение $4x^2 - 3x + 2$ всегда положительно. Это условие выполняется для всех действительных $x$.

2. $x \ge 0$.

Таким образом, ОДЗ для второго неравенства: $x \ge 0$.

Основание степени $0.3 < 1$, поэтому при переходе к неравенству для показателей знак меняется на противоположный:

$\sqrt{4x^2 - 3x + 2} < \sqrt{x}$

В области определения ($x \ge 0$) обе части неравенства неотрицательны, поэтому их можно возвести в квадрат, сохранив знак неравенства:

$4x^2 - 3x + 2 < x$

$4x^2 - 4x + 2 < 0$

Разделим обе части на 2: $2x^2 - 2x + 1 < 0$.

Рассмотрим квадратный трехчлен $2x^2 - 2x + 1$. Его дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4 < 0$.

Так как старший коэффициент ($2$) положителен, а дискриминант отрицателен, выражение $2x^2 - 2x + 1$ всегда принимает положительные значения. Следовательно, неравенство $2x^2 - 2x + 1 < 0$ не имеет решений.

Решением второго неравенства является пустое множество $\emptyset$.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств:

$(3; 4.5) \cap \emptyset = \emptyset$.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).