Страница 139 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дано неравенство $5^{x-1} < 25$.
Представим правую часть в виде степени с основанием 5: $25 = 5^2$.
Получаем неравенство: $5^{x-1} < 5^2$.
Так как основание степени $5 > 1$, то показательная функция возрастает. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$x - 1 < 2$
$x < 2 + 1$
$x < 3$
Наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому неравенству, является 2.
Ответ: 2

2) Дано неравенство $3^{3-x} \ge 9$.
Представим правую часть в виде степени с основанием 3: $9 = 3^2$.
Получаем неравенство: $3^{3-x} \ge 3^2$.
Так как основание степени $3 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:
$3 - x \ge 2$
$-x \ge 2 - 3$
$-x \ge -1$
Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства на противоположный:
$x \le 1$
Наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому неравенству, является 1.
Ответ: 1

3) Дано неравенство $6^{2x} \le \frac{1}{36}$.
Представим правую часть в виде степени с основанием 6: $\frac{1}{36} = \frac{1}{6^2} = 6^{-2}$.
Получаем неравенство: $6^{2x} \le 6^{-2}$.
Так как основание степени $6 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:
$2x \le -2$
$x \le -1$
Наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому неравенству, является -1.
Ответ: -1

4) Дано неравенство $(\frac{1}{2})^{2x-2} \ge 4$.
Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$: $4 = 2^2 = ((\frac{1}{2})^{-1})^2 = (\frac{1}{2})^{-2}$.
Получаем неравенство: $(\frac{1}{2})^{2x-2} \ge (\frac{1}{2})^{-2}$.
Так как основание степени $0 < \frac{1}{2} < 1$, то показательная функция убывает. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$2x - 2 \le -2$
$2x \le -2 + 2$
$2x \le 0$
$x \le 0$
Наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому неравенству, является 0.
Ответ: 0

5) Дано неравенство $(\frac{1}{3})^{5-3x} \le 81$.
Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{1}{3}$: $81 = 3^4 = ((\frac{1}{3})^{-1})^4 = (\frac{1}{3})^{-4}$.
Получаем неравенство: $(\frac{1}{3})^{5-3x} \le (\frac{1}{3})^{-4}$.
Так как основание степени $0 < \frac{1}{3} < 1$, знак неравенства для показателей меняется на противоположный:
$5 - 3x \ge -4$
$-3x \ge -4 - 5$
$-3x \ge -9$
Разделим обе части на -3 и сменим знак неравенства:
$x \le 3$
Наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому неравенству, является 3.
Ответ: 3

6) Дано неравенство $(\frac{1}{2})^{2x-3} > (\frac{1}{2})^2$.
Обе части неравенства имеют одинаковое основание $\frac{1}{2}$.
Так как основание степени $0 < \frac{1}{2} < 1$, знак неравенства для показателей меняется на противоположный:
$2x - 3 < 2$
$2x < 2 + 3$
$2x < 5$
$x < 2.5$
Наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому неравенству, является 2.
Ответ: 2

1) Дана система показательных неравенств: $ \begin{cases} 5^x > 25, \\ (\frac{1}{3})^{x-8} < \frac{1}{27} \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:

$5^x > 25$

Приведем обе части неравенства к одному основанию 5. Так как $25 = 5^2$, получаем:

$5^x > 5^2$

Поскольку основание $5 > 1$, показательная функция $y=5^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому знак неравенства для показателей степеней сохраняется:

$x > 2$

Решение первого неравенства: $x \in (2, +\infty)$.

Второе неравенство:

$(\frac{1}{3})^{x-8} < \frac{1}{27}$

Приведем обе части к основанию $\frac{1}{3}$. Так как $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = (\frac{1}{3})^3$, получаем:

$(\frac{1}{3})^{x-8} < (\frac{1}{3})^3$

Поскольку основание $0 < \frac{1}{3} < 1$, показательная функция $y=(\frac{1}{3})^x$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$x - 8 > 3$

$x > 11$

Решение второго неравенства: $x \in (11, +\infty)$.

Решение системы:

Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств: $(2, +\infty) \cap (11, +\infty)$.

Чтобы найти пересечение, нужно выбрать числа, которые удовлетворяют обоим условиям: $x > 2$ и $x > 11$. Условие $x > 11$ является более строгим и включает в себя условие $x > 2$. Следовательно, пересечением является интервал $(11, +\infty)$.

Ответ: $x \in (11, +\infty)$.

2) Дана система показательных неравенств: $ \begin{cases} 8 > (\frac{1}{2})^{6-x}, \\ 3^{4x} > 81 \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:

$8 > (\frac{1}{2})^{6-x}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию, например, к 2. Мы знаем, что $8 = 2^3$ и $(\frac{1}{2})^{6-x} = (2^{-1})^{6-x} = 2^{-(6-x)} = 2^{x-6}$.

Неравенство принимает вид:

$2^3 > 2^{x-6}$

Поскольку основание $2 > 1$, показательная функция $y=2^x$ является возрастающей. Знак неравенства для показателей степеней сохраняется:

$3 > x - 6$

$3 + 6 > x$

$9 > x$, или $x < 9$

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 9)$.

Второе неравенство:

$3^{4x} > 81$

Приведем обе части к основанию 3. Так как $81 = 9^2 = (3^2)^2 = 3^4$, получаем:

$3^{4x} > 3^4$

Поскольку основание $3 > 1$, показательная функция $y=3^x$ является возрастающей. Знак неравенства для показателей степеней сохраняется:

$4x > 4$

Разделим обе части на 4:

$x > 1$

Решение второго неравенства: $x \in (1, +\infty)$.

Решение системы:

Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств: $(-\infty, 9) \cap (1, +\infty)$.

Это означает, что мы ищем все числа $x$, которые одновременно больше 1 и меньше 9. Это соответствует двойному неравенству $1 < x < 9$.

Ответ: $x \in (1, 9)$.

1) $3^{-2x} < \sqrt{3}$

Приведем обе части неравенства к основанию 3. Правая часть: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.

Получаем неравенство: $3^{-2x} < 3^{\frac{1}{2}}$.

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$-2x < \frac{1}{2}$

Разделим обе части на -2, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x > -\frac{1}{4}$

Ответ: $x \in (-\frac{1}{4}; +\infty)$.

2) $(\frac{1}{5})^{-\frac{2x}{3}} > 25$

Приведем обе части неравенства к основанию 5.

Левая часть: $(\frac{1}{5})^{-\frac{2x}{3}} = (5^{-1})^{-\frac{2x}{3}} = 5^{(-1) \cdot (-\frac{2x}{3})} = 5^{\frac{2x}{3}}$.

Правая часть: $25 = 5^2$.

Получаем неравенство: $5^{\frac{2x}{3}} > 5^2$.

Так как основание степени $5 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$\frac{2x}{3} > 2$

Умножим обе части на 3:

$2x > 6$

Разделим на 2:

$x > 3$

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

3) $(\frac{1}{9})^{-3x+1} > \sqrt{3}$

Приведем обе части неравенства к основанию 3.

Левая часть: $(\frac{1}{9})^{-3x+1} = (3^{-2})^{-3x+1} = 3^{-2(-3x+1)} = 3^{6x-2}$.

Правая часть: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.

Получаем неравенство: $3^{6x-2} > 3^{\frac{1}{2}}$.

Так как основание степени $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$6x-2 > \frac{1}{2}$

Прибавим 2 к обеим частям:

$6x > \frac{1}{2} + 2$

$6x > \frac{5}{2}$

Разделим на 6:

$x > \frac{5}{2 \cdot 6}$

$x > \frac{5}{12}$

Ответ: $x \in (\frac{5}{12}; +\infty)$.

4) $2^{\frac{3x}{2} + 3} < 16$

Приведем обе части к основанию 2. Правая часть: $16 = 2^4$.

Получаем неравенство: $2^{\frac{3x}{2} + 3} < 2^4$.

Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$\frac{3x}{2} + 3 < 4$

Вычтем 3 из обеих частей:

$\frac{3x}{2} < 1$

Умножим на 2:

$3x < 2$

Разделим на 3:

$x < \frac{2}{3}$

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{2}{3})$.

5) $5^{\frac{x+1}{3}} \geq \frac{1}{\sqrt[3]{5}}$

Приведем обе части к основанию 5.

Правая часть: $\frac{1}{\sqrt[3]{5}} = \frac{1}{5^{\frac{1}{3}}} = 5^{-\frac{1}{3}}$.

Получаем неравенство: $5^{\frac{x+1}{3}} \geq 5^{-\frac{1}{3}}$.

Так как основание $5 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$\frac{x+1}{3} \geq -\frac{1}{3}$

Умножим обе части на 3:

$x+1 \geq -1$

Вычтем 1:

$x \geq -2$

Ответ: $x \in [-2; +\infty)$.

6) $(\frac{2}{3})^{\frac{4}{x}-3} > \frac{9}{4}$

Приведем обе части к основанию $\frac{2}{3}$.

Правая часть: $\frac{9}{4} = (\frac{3}{2})^2 = ((\frac{2}{3})^{-1})^2 = (\frac{2}{3})^{-2}$.

Получаем неравенство: $(\frac{2}{3})^{\frac{4}{x}-3} > (\frac{2}{3})^{-2}$.

Так как основание $0 < \frac{2}{3} < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{4}{x}-3 < -2$

Область допустимых значений: $x \neq 0$.

Прибавим 3 к обеим частям:

$\frac{4}{x} < 1$

Перенесем 1 в левую часть:

$\frac{4}{x} - 1 < 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{4-x}{x} < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

$4-x=0 \Rightarrow x=4$

$x=0$

Отметим точки 0 и 4 на числовой прямой. Они разбивают прямую на интервалы $(-\infty; 0)$, $(0; 4)$ и $(4; +\infty)$.

Проверим знак выражения $\frac{4-x}{x}$ в каждом интервале:

При $x \in (-\infty; 0)$, например $x=-1$: $\frac{4-(-1)}{-1} = \frac{5}{-1} = -5 < 0$. Интервал подходит.

При $x \in (0; 4)$, например $x=1$: $\frac{4-1}{1} = 3 > 0$. Интервал не подходит.

При $x \in (4; +\infty)$, например $x=5$: $\frac{4-5}{5} = -\frac{1}{5} < 0$. Интервал подходит.

Объединяя подходящие интервалы, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$.

1)

Исходное неравенство: $(\frac{3}{7})^{x^2} > (\frac{9}{49})^{x + 1,5}$.

Приведем обе части неравенства к одному основанию $\frac{3}{7}$. Заметим, что $\frac{9}{49} = (\frac{3}{7})^2$.

$(\frac{3}{7})^{x^2} > ((\frac{3}{7})^2)^{x + 1,5}$

$(\frac{3}{7})^{x^2} > (\frac{3}{7})^{2(x + 1,5)}$

$(\frac{3}{7})^{x^2} > (\frac{3}{7})^{2x + 3}$

Так как основание степени $a = \frac{3}{7}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный.

$x^2 < 2x + 3$

Решим полученное квадратное неравенство:

$x^2 - 2x - 3 < 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 = 4^2$

$x_1 = \frac{2 - 4}{2} = -1$

$x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3$

Парабола $y = x^2 - 2x - 3$ направлена ветвями вверх, поэтому значения меньше нуля находятся между корнями.

$-1 < x < 3$

Ответ: $x \in (-1; 3)$.

2)

Исходное неравенство: $(\frac{2}{3})^{x^2 + 4x} \ge (\frac{8}{27})^{x + 2}$.

Приведем обе части к основанию $\frac{2}{3}$. Заметим, что $\frac{8}{27} = (\frac{2}{3})^3$.

$(\frac{2}{3})^{x^2 + 4x} \ge ((\frac{2}{3})^3)^{x + 2}$

$(\frac{2}{3})^{x^2 + 4x} \ge (\frac{2}{3})^{3(x + 2)}$

$(\frac{2}{3})^{x^2 + 4x} \ge (\frac{2}{3})^{3x + 6}$

Основание степени $a = \frac{2}{3}$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому функция убывающая. Меняем знак неравенства на противоположный.

$x^2 + 4x \le 3x + 6$

$x^2 + x - 6 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2$

$x_1 = \frac{-1 - 5}{2} = -3$

$x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2$

Парабола $y = x^2 + x - 6$ направлена ветвями вверх, поэтому значения меньше или равные нулю находятся между корнями, включая сами корни.

$-3 \le x \le 2$

Ответ: $x \in [-3; 2]$.

3)

Исходное неравенство: $(\frac{1}{27})^{x^2 + 1} > (\frac{1}{9})^{-x^2 + 8x}$.

Приведем обе части к основанию $\frac{1}{3}$. Заметим, что $\frac{1}{27} = (\frac{1}{3})^3$ и $\frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^2$.

$((\frac{1}{3})^3)^{x^2 + 1} > ((\frac{1}{3})^2)^{-x^2 + 8x}$

$(\frac{1}{3})^{3(x^2 + 1)} > (\frac{1}{3})^{2(-x^2 + 8x)}$

$(\frac{1}{3})^{3x^2 + 3} > (\frac{1}{3})^{-2x^2 + 16x}$

Основание $a = \frac{1}{3} \in (0; 1)$, поэтому меняем знак неравенства.

$3x^2 + 3 < -2x^2 + 16x$

$5x^2 - 16x + 3 < 0$

Найдем корни уравнения $5x^2 - 16x + 3 = 0$:

$D = (-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 256 - 60 = 196 = 14^2$

$x_1 = \frac{16 - 14}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$x_2 = \frac{16 + 14}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3$

Парабола $y = 5x^2 - 16x + 3$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.

$\frac{1}{5} < x < 3$

Ответ: $x \in (\frac{1}{5}; 3)$.

4)

Исходное неравенство: $(0,2)^{\frac{6x - 1}{3 - x}} < (\frac{1}{5})^2$.

Преобразуем $0,2$ в обыкновенную дробь: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

$(\frac{1}{5})^{\frac{6x - 1}{3 - x}} < (\frac{1}{5})^2$

Основание $a = \frac{1}{5} \in (0; 1)$, поэтому меняем знак неравенства.

$\frac{6x - 1}{3 - x} > 2$

При решении дробно-рационального неравенства необходимо учесть область определения: $3 - x \ne 0 \Rightarrow x \ne 3$.

$\frac{6x - 1}{3 - x} - 2 > 0$

$\frac{6x - 1 - 2(3 - x)}{3 - x} > 0$

$\frac{6x - 1 - 6 + 2x}{3 - x} > 0$

$\frac{8x - 7}{3 - x} > 0$

Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

$8x - 7 = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{8}$

$3 - x = 0 \Rightarrow x = 3$

Нанесем точки на числовую ось и определим знаки на интервалах $(-\infty; \frac{7}{8})$, $(\frac{7}{8}; 3)$, $(3; +\infty)$.

При $x = 0$: $\frac{-7}{3} < 0$.

При $x = 1$: $\frac{1}{2} > 0$.

При $x = 4$: $\frac{25}{-1} < 0$.

Нам нужен интервал, где выражение больше нуля.

$\frac{7}{8} < x < 3$

Ответ: $x \in (\frac{7}{8}; 3)$.

5)

Исходное неравенство: $(\frac{1}{7})^{\frac{x}{4 - x}} > 49$.

Приведем обе части к основанию 7. $\frac{1}{7} = 7^{-1}$ и $49 = 7^2$.

$(7^{-1})^{\frac{x}{4 - x}} > 7^2$

$7^{-\frac{x}{4 - x}} > 7^2$

Основание $a = 7 > 1$, поэтому показательная функция возрастающая. Сохраняем знак неравенства.

$-\frac{x}{4 - x} > 2$

Область определения: $4 - x \ne 0 \Rightarrow x \ne 4$.

$\frac{-x}{4 - x} - 2 > 0$

$\frac{-x - 2(4 - x)}{4 - x} > 0$

$\frac{-x - 8 + 2x}{4 - x} > 0$

$\frac{x - 8}{4 - x} > 0$

Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=8$ и $x=4$.

Интервалы: $(-\infty; 4)$, $(4; 8)$, $(8; +\infty)$.

При $x = 0$: $\frac{-8}{4} < 0$.

При $x = 5$: $\frac{-3}{-1} > 0$.

При $x = 9$: $\frac{1}{-5} < 0$.

Решение: $4 < x < 8$.

Ответ: $x \in (4; 8)$.

6)

Исходное неравенство: $(\frac{1}{2})^{\frac{x - 1}{x + 2}} \ge 4$.

Приведем обе части к основанию 2. $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $4 = 2^2$.

$(2^{-1})^{\frac{x - 1}{x + 2}} \ge 2^2$

$2^{-\frac{x - 1}{x + 2}} \ge 2^2$

$2^{\frac{1 - x}{x + 2}} \ge 2^2$

Основание $a = 2 > 1$, сохраняем знак неравенства.

$\frac{1 - x}{x + 2} \ge 2$

Область определения: $x + 2 \ne 0 \Rightarrow x \ne -2$.

$\frac{1 - x}{x + 2} - 2 \ge 0$

$\frac{1 - x - 2(x + 2)}{x + 2} \ge 0$

$\frac{1 - x - 2x - 4}{x + 2} \ge 0$

$\frac{-3x - 3}{x + 2} \ge 0$

Разделим обе части на -3 и сменим знак неравенства:

$\frac{x + 1}{x + 2} \le 0$

Методом интервалов. Нули: $x = -1$ (числитель, точка включается), $x = -2$ (знаменатель, точка исключается).

Интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; -1]$, $[-1; +\infty)$.

При $x = -3$: $\frac{-2}{-1} > 0$.

При $x = -1.5$: $\frac{-0.5}{0.5} < 0$.

При $x = 0$: $\frac{1}{2} > 0$.

Решение: $-2 < x \le -1$.

Ответ: $x \in (-2; -1]$.

1) Исходное неравенство: $2^{3x} < \sqrt[5]{2}$.

Для решения приведем обе части неравенства к одному основанию, в данном случае к 2. Правая часть неравенства может быть записана как $\sqrt[5]{2} = 2^{\frac{1}{5}}$.

Таким образом, неравенство принимает вид:

$2^{3x} < 2^{\frac{1}{5}}$

Поскольку основание степени $a=2$ больше единицы ($a > 1$), то при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$3x < \frac{1}{5}$

Разделим обе части на 3:

$x < \frac{1}{15}$

Наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому условию, является 0.

Ответ: 0

2) Исходное неравенство: $(\frac{1}{8})^{\frac{x+1}{2}} > 4$.

Приведем обе части неравенства к основанию 2.

Левая часть: $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$. Тогда $(\frac{1}{8})^{\frac{x+1}{2}} = (2^{-3})^{\frac{x+1}{2}} = 2^{-\frac{3(x+1)}{2}}$.

Правая часть: $4 = 2^2$.

Неравенство принимает вид:

$2^{-\frac{3(x+1)}{2}} > 2^2$

Так как основание $2 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:

$-\frac{3(x+1)}{2} > 2$

Умножим обе части на -2 и сменим знак неравенства на противоположный:

$3(x+1) < -4$

$3x + 3 < -4$

$3x < -7$

$x < -\frac{7}{3}$

Так как $-\frac{7}{3} \approx -2.33$, наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому условию, является -3.

Ответ: -3

3) Исходное неравенство: $(\frac{1}{49})^{-\frac{x}{2}} \le 7$.

Приведем обе части к основанию 7.

Левая часть: $\frac{1}{49} = \frac{1}{7^2} = 7^{-2}$. Тогда $(\frac{1}{49})^{-\frac{x}{2}} = (7^{-2})^{-\frac{x}{2}} = 7^{-2 \cdot (-\frac{x}{2})} = 7^x$.

Правая часть: $7 = 7^1$.

Неравенство принимает вид:

$7^x \le 7^1$

Так как основание $7 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:

$x \le 1$

Наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому условию, является 1.

Ответ: 1

4) Исходное неравенство: $3^{\frac{2x+1}{5}} < \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$.

Приведем обе части к основанию 3.

Правая часть: $\frac{1}{\sqrt[3]{3}} = \frac{1}{3^{\frac{1}{3}}} = 3^{-\frac{1}{3}}$.

Неравенство принимает вид:

$3^{\frac{2x+1}{5}} < 3^{-\frac{1}{3}}$

Так как основание $3 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:

$\frac{2x+1}{5} < -\frac{1}{3}$

Умножим обе части на 15 (наименьшее общее кратное для 5 и 3):

$15 \cdot \frac{2x+1}{5} < 15 \cdot (-\frac{1}{3})$

$3(2x+1) < -5$

$6x + 3 < -5$

$6x < -8$

$x < -\frac{8}{6}$

$x < -\frac{4}{3}$

Так как $-\frac{4}{3} \approx -1.33$, наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому условию, является -2.

Ответ: -2

1) $5^{2x+1} - 5^{x+2} \le 5^x - 5$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{mn} = (a^m)^n$.

$5^1 \cdot 5^{2x} - 5^2 \cdot 5^x \le 5^x - 5$

$5 \cdot (5^x)^2 - 25 \cdot 5^x \le 5^x - 5$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые.

$5 \cdot (5^x)^2 - 25 \cdot 5^x - 5^x + 5 \le 0$

$5 \cdot (5^x)^2 - 26 \cdot 5^x + 5 \le 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Неравенство принимает вид:

$5t^2 - 26t + 5 \le 0$

Это квадратичное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $5t^2 - 26t + 5 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2$.

Найдем корни: $t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$

Графиком функции $y = 5t^2 - 26t + 5$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции не положительны ($ \le 0$) на отрезке между корнями.

Таким образом, $\frac{1}{5} \le t \le 5$. Это решение удовлетворяет условию $t>0$.

Выполним обратную замену:

$\frac{1}{5} \le 5^x \le 5$

Представим числа $\frac{1}{5}$ и $5$ в виде степеней с основанием 5:

$5^{-1} \le 5^x \le 5^1$

Так как основание $5 > 1$, то при переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется:

$-1 \le x \le 1$

Ответ: $x \in [-1, 1]$.

2) $2^{2x} - 3 \cdot 2^x + 2 \le 0$

Представим $2^{2x}$ как $(2^x)^2$:

$(2^x)^2 - 3 \cdot 2^x + 2 \le 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

$t^2 - 3t + 2 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Следовательно, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Парабола $y = t^2 - 3t + 2$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется на отрезке между корнями: $1 \le t \le 2$.

Условие $t>0$ выполнено.

Вернемся к исходной переменной:

$1 \le 2^x \le 2$

Представим числа 1 и 2 в виде степеней с основанием 2:

$2^0 \le 2^x \le 2^1$

Так как основание $2 > 1$, то получаем:

$0 \le x \le 1$

Ответ: $x \in [0, 1]$.

3) $250 \cdot 5^{3-x} - 2 \cdot 5^{x-3} > 0$

Перенесем второе слагаемое в правую часть неравенства:

$250 \cdot 5^{3-x} > 2 \cdot 5^{x-3}$

Разделим обе части неравенства на 2:

$125 \cdot 5^{3-x} > 5^{x-3}$

Представим число 125 как степень с основанием 5: $125 = 5^3$.

$5^3 \cdot 5^{3-x} > 5^{x-3}$

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$5^{3+(3-x)} > 5^{x-3}$

$5^{6-x} > 5^{x-3}$

Так как основание степени $5 > 1$, то можно перейти к неравенству для показателей, сохранив знак:

$6 - x > x - 3$

Решим полученное линейное неравенство:

$6 + 3 > x + x$

$9 > 2x$

$x < \frac{9}{2}$ или $x < 4.5$

Ответ: $x \in (-\infty; 4.5)$.

4) $147 \cdot 7^{x-2} - 3 \cdot 7^{2-x} \le 0$

Перенесем второе слагаемое в правую часть:

$147 \cdot 7^{x-2} \le 3 \cdot 7^{2-x}$

Разделим обе части на 3:

$\frac{147}{3} \cdot 7^{x-2} \le 7^{2-x}$

$49 \cdot 7^{x-2} \le 7^{2-x}$

Представим 49 как степень с основанием 7: $49 = 7^2$.

$7^2 \cdot 7^{x-2} \le 7^{2-x}$

Применим свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$7^{2+(x-2)} \le 7^{2-x}$

$7^x \le 7^{2-x}$

Так как основание $7 > 1$, перейдем к неравенству для показателей, сохранив знак:

$x \le 2 - x$

Решим полученное неравенство:

$x + x \le 2$

$2x \le 2$

$x \le 1$

Ответ: $x \in (-\infty; 1]$.

1) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 7^{\frac{x-5}{2}} \le 7\sqrt{7} \\ (\frac{3}{2})^{2x-3} < 3\frac{3}{8} \end{cases} $
Сначала решим первое неравенство: $7^{\frac{x-5}{2}} \le 7\sqrt{7}$.
Представим правую часть в виде степени с основанием 7. Мы знаем, что $7\sqrt{7} = 7^1 \cdot 7^{\frac{1}{2}} = 7^{1 + \frac{1}{2}} = 7^{\frac{3}{2}}$.
Таким образом, неравенство принимает вид: $7^{\frac{x-5}{2}} \le 7^{\frac{3}{2}}$.
Так как основание степени $7 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$\frac{x-5}{2} \le \frac{3}{2}$
Умножим обе части на 2:
$x-5 \le 3$
$x \le 8$.
Теперь решим второе неравенство: $(\frac{3}{2})^{2x-3} < 3\frac{3}{8}$.
Преобразуем смешанную дробь $3\frac{3}{8}$ в неправильную: $3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$.
Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{3}{2}$: $\frac{27}{8} = \frac{3^3}{2^3} = (\frac{3}{2})^3$.
Неравенство принимает вид: $(\frac{3}{2})^{2x-3} < (\frac{3}{2})^3$.
Так как основание степени $\frac{3}{2} > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется:
$2x-3 < 3$
$2x < 6$
$x < 3$.
Решением системы является пересечение решений обоих неравенств. Нам нужно найти значения $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $x \le 8$ и $x < 3$.
Пересечением этих двух множеств является интервал $(-\infty; 3)$.
Ответ: $(-\infty; 3)$.

2) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} (\frac{3}{5})^{x^2+5x} > 1 \\ (\frac{1}{3})^{x^2-2x-2} < 27 \end{cases} $
Решим первое неравенство: $(\frac{3}{5})^{x^2+5x} > 1$.
Представим 1 как степень с основанием $\frac{3}{5}$: $1 = (\frac{3}{5})^0$.
Неравенство принимает вид: $(\frac{3}{5})^{x^2+5x} > (\frac{3}{5})^0$.
Так как основание степени $0 < \frac{3}{5} < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$x^2 + 5x < 0$
Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $x^2 + 5x = 0$:
$x(x+5) = 0$, откуда $x_1 = 0$, $x_2 = -5$.
Парабола $y = x^2 + 5x$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 + 5x < 0$ выполняется между корнями.
Решением является интервал $-5 < x < 0$.
Решим второе неравенство: $(\frac{1}{3})^{x^2-2x-2} < 27$.
Приведем обе части неравенства к основанию 3. Мы знаем, что $\frac{1}{3} = 3^{-1}$ и $27 = 3^3$.
$(3^{-1})^{x^2-2x-2} < 3^3$
$3^{-(x^2-2x-2)} < 3^3$
$3^{-x^2+2x+2} < 3^3$
Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется:
$-x^2+2x+2 < 3$
$-x^2+2x-1 < 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x^2-2x+1 > 0$
Свернем левую часть по формуле квадрата разности:
$(x-1)^2 > 0$
Квадрат любого действительного числа неотрицателен. Выражение $(x-1)^2$ равно нулю при $x=1$ и строго положительно при всех остальных значениях $x$.
Следовательно, решением является $x \neq 1$.
Найдем пересечение решений двух неравенств: $(-5; 0)$ и $x \neq 1$.
Интервал $(-5; 0)$ не содержит точку $x=1$, поэтому все точки из этого интервала удовлетворяют второму условию.
Пересечением является сам интервал $(-5; 0)$.
Ответ: $(-5; 0)$.