Номер 280, страница 139 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $3^{-2x} < \sqrt{3}$

Приведем обе части неравенства к основанию 3. Правая часть: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.

Получаем неравенство: $3^{-2x} < 3^{\frac{1}{2}}$.

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$-2x < \frac{1}{2}$

Разделим обе части на -2, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x > -\frac{1}{4}$

Ответ: $x \in (-\frac{1}{4}; +\infty)$.

2) $(\frac{1}{5})^{-\frac{2x}{3}} > 25$

Приведем обе части неравенства к основанию 5.

Левая часть: $(\frac{1}{5})^{-\frac{2x}{3}} = (5^{-1})^{-\frac{2x}{3}} = 5^{(-1) \cdot (-\frac{2x}{3})} = 5^{\frac{2x}{3}}$.

Правая часть: $25 = 5^2$.

Получаем неравенство: $5^{\frac{2x}{3}} > 5^2$.

Так как основание степени $5 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$\frac{2x}{3} > 2$

Умножим обе части на 3:

$2x > 6$

Разделим на 2:

$x > 3$

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

3) $(\frac{1}{9})^{-3x+1} > \sqrt{3}$

Приведем обе части неравенства к основанию 3.

Левая часть: $(\frac{1}{9})^{-3x+1} = (3^{-2})^{-3x+1} = 3^{-2(-3x+1)} = 3^{6x-2}$.

Правая часть: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.

Получаем неравенство: $3^{6x-2} > 3^{\frac{1}{2}}$.

Так как основание степени $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$6x-2 > \frac{1}{2}$

Прибавим 2 к обеим частям:

$6x > \frac{1}{2} + 2$

$6x > \frac{5}{2}$

Разделим на 6:

$x > \frac{5}{2 \cdot 6}$

$x > \frac{5}{12}$

Ответ: $x \in (\frac{5}{12}; +\infty)$.

4) $2^{\frac{3x}{2} + 3} < 16$

Приведем обе части к основанию 2. Правая часть: $16 = 2^4$.

Получаем неравенство: $2^{\frac{3x}{2} + 3} < 2^4$.

Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$\frac{3x}{2} + 3 < 4$

Вычтем 3 из обеих частей:

$\frac{3x}{2} < 1$

Умножим на 2:

$3x < 2$

Разделим на 3:

$x < \frac{2}{3}$

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{2}{3})$.

5) $5^{\frac{x+1}{3}} \geq \frac{1}{\sqrt[3]{5}}$

Приведем обе части к основанию 5.

Правая часть: $\frac{1}{\sqrt[3]{5}} = \frac{1}{5^{\frac{1}{3}}} = 5^{-\frac{1}{3}}$.

Получаем неравенство: $5^{\frac{x+1}{3}} \geq 5^{-\frac{1}{3}}$.

Так как основание $5 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$\frac{x+1}{3} \geq -\frac{1}{3}$

Умножим обе части на 3:

$x+1 \geq -1$

Вычтем 1:

$x \geq -2$

Ответ: $x \in [-2; +\infty)$.

6) $(\frac{2}{3})^{\frac{4}{x}-3} > \frac{9}{4}$

Приведем обе части к основанию $\frac{2}{3}$.

Правая часть: $\frac{9}{4} = (\frac{3}{2})^2 = ((\frac{2}{3})^{-1})^2 = (\frac{2}{3})^{-2}$.

Получаем неравенство: $(\frac{2}{3})^{\frac{4}{x}-3} > (\frac{2}{3})^{-2}$.

Так как основание $0 < \frac{2}{3} < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{4}{x}-3 < -2$

Область допустимых значений: $x \neq 0$.

Прибавим 3 к обеим частям:

$\frac{4}{x} < 1$

Перенесем 1 в левую часть:

$\frac{4}{x} - 1 < 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{4-x}{x} < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

$4-x=0 \Rightarrow x=4$

$x=0$

Отметим точки 0 и 4 на числовой прямой. Они разбивают прямую на интервалы $(-\infty; 0)$, $(0; 4)$ и $(4; +\infty)$.

Проверим знак выражения $\frac{4-x}{x}$ в каждом интервале:

При $x \in (-\infty; 0)$, например $x=-1$: $\frac{4-(-1)}{-1} = \frac{5}{-1} = -5 < 0$. Интервал подходит.

При $x \in (0; 4)$, например $x=1$: $\frac{4-1}{1} = 3 > 0$. Интервал не подходит.

При $x \in (4; +\infty)$, например $x=5$: $\frac{4-5}{5} = -\frac{1}{5} < 0$. Интервал подходит.

Объединяя подходящие интервалы, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$.