Номер 283, страница 139 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $5^{2x+1} - 5^{x+2} \le 5^x - 5$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{mn} = (a^m)^n$.

$5^1 \cdot 5^{2x} - 5^2 \cdot 5^x \le 5^x - 5$

$5 \cdot (5^x)^2 - 25 \cdot 5^x \le 5^x - 5$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые.

$5 \cdot (5^x)^2 - 25 \cdot 5^x - 5^x + 5 \le 0$

$5 \cdot (5^x)^2 - 26 \cdot 5^x + 5 \le 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Неравенство принимает вид:

$5t^2 - 26t + 5 \le 0$

Это квадратичное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $5t^2 - 26t + 5 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2$.

Найдем корни: $t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$

Графиком функции $y = 5t^2 - 26t + 5$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции не положительны ($ \le 0$) на отрезке между корнями.

Таким образом, $\frac{1}{5} \le t \le 5$. Это решение удовлетворяет условию $t>0$.

Выполним обратную замену:

$\frac{1}{5} \le 5^x \le 5$

Представим числа $\frac{1}{5}$ и $5$ в виде степеней с основанием 5:

$5^{-1} \le 5^x \le 5^1$

Так как основание $5 > 1$, то при переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется:

$-1 \le x \le 1$

Ответ: $x \in [-1, 1]$.

2) $2^{2x} - 3 \cdot 2^x + 2 \le 0$

Представим $2^{2x}$ как $(2^x)^2$:

$(2^x)^2 - 3 \cdot 2^x + 2 \le 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

$t^2 - 3t + 2 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Следовательно, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Парабола $y = t^2 - 3t + 2$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется на отрезке между корнями: $1 \le t \le 2$.

Условие $t>0$ выполнено.

Вернемся к исходной переменной:

$1 \le 2^x \le 2$

Представим числа 1 и 2 в виде степеней с основанием 2:

$2^0 \le 2^x \le 2^1$

Так как основание $2 > 1$, то получаем:

$0 \le x \le 1$

Ответ: $x \in [0, 1]$.

3) $250 \cdot 5^{3-x} - 2 \cdot 5^{x-3} > 0$

Перенесем второе слагаемое в правую часть неравенства:

$250 \cdot 5^{3-x} > 2 \cdot 5^{x-3}$

Разделим обе части неравенства на 2:

$125 \cdot 5^{3-x} > 5^{x-3}$

Представим число 125 как степень с основанием 5: $125 = 5^3$.

$5^3 \cdot 5^{3-x} > 5^{x-3}$

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$5^{3+(3-x)} > 5^{x-3}$

$5^{6-x} > 5^{x-3}$

Так как основание степени $5 > 1$, то можно перейти к неравенству для показателей, сохранив знак:

$6 - x > x - 3$

Решим полученное линейное неравенство:

$6 + 3 > x + x$

$9 > 2x$

$x < \frac{9}{2}$ или $x < 4.5$

Ответ: $x \in (-\infty; 4.5)$.

4) $147 \cdot 7^{x-2} - 3 \cdot 7^{2-x} \le 0$

Перенесем второе слагаемое в правую часть:

$147 \cdot 7^{x-2} \le 3 \cdot 7^{2-x}$

Разделим обе части на 3:

$\frac{147}{3} \cdot 7^{x-2} \le 7^{2-x}$

$49 \cdot 7^{x-2} \le 7^{2-x}$

Представим 49 как степень с основанием 7: $49 = 7^2$.

$7^2 \cdot 7^{x-2} \le 7^{2-x}$

Применим свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$7^{2+(x-2)} \le 7^{2-x}$

$7^x \le 7^{2-x}$

Так как основание $7 > 1$, перейдем к неравенству для показателей, сохранив знак:

$x \le 2 - x$

Решим полученное неравенство:

$x + x \le 2$

$2x \le 2$

$x \le 1$

Ответ: $x \in (-\infty; 1]$.